2018年高考数学一轮复习 课标通用 第二章函数概念与基本初等函数

2018年高考数学一轮复习 课标通用 学案 理 选修4

§2.4 二次函数与幂函数

考纲展示? 1.了解幂函数的概念．

2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3

，y ＝1x

，y ＝x 12 的图象，了解它们的变化情况．

3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．

4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

考点1 幂函数的图象与性质

五种常见幂函数的图象与性质

奇

增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减 (1,1)

[教材习题改编]已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，则函数f (x )＝________. 答案：x 12

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解析：设f (x )＝x α，则2＝2α，所以α＝12

，故函数f (x )＝x 12 .

幂函数概念的误区：系数为1；指数为常数．

已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x

m －3，则m 为________．

答案：2或－1

解析：若函数为幂函数，则m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.

[典题1] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )

A B

C D

[答案] C

[解析] 令f (x )＝x α，则4α＝2，

∴α＝12

，∴f (x )＝x 12 . (2)[2017·安徽江南七校联考]已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x n 2

－3n (n ∈Z )的图象关于

y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )

A ．－3

B ．1

C ．2

D ．1或2

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[答案] B

[解析] 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3.

当n ＝1时，函数f (x )＝x －2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；

当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.

(3)1.1 12 ，0.9 12 ，1的大小关系为________．

[答案] 0.9 12 ＜1＜1.1 12

[解析] 把1看作1 12 ，幂函数y ＝x 12 在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，

∴0.9 12 ＜1 12 ＜1.1 12 ，即0.9 12 ＜1＜1.1 12 .

(4)已知函数f (x )＝????? 2x

，x ≥2， x －1 3，x <2，

若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，

则实数k 的取值范围是________．

[答案] (0,1)

[解析] 作出函数y ＝f (x )的图象如图．

则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．

[点石成金] 1.幂函数y ＝x α的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：

(1)α的正负：当α>0时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；当α<0时，图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”；

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(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α>1时曲线下凹；当0<α<1时曲线上凸，当α<0时曲线下凹；

(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．

2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

考点2 求二次函数的解析式

二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：f (x )＝____________；

(2)顶点式：f (x )＝____________；

(3)零点式：f (x )＝____________.

答案：(1)ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)a (x －m )2

＋n (a ≠0) (3)a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)

二次函数对称轴的判断方法：中值法；结论法．

(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于直线________对称．

(2)“二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立”的充要条件是“函数y ＝f (x )的图象关于直线________对称”(a 为常数)．

答案：(1)x ＝x 1＋x 22 (2)x ＝a

解析：(1)作出二次函数y ＝f (x )的图象(图略)，由图可知，当f (x 1)＝f (x 2)时， 点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))关于直线x ＝x 1＋x 22对称．

由x 1，x 2的任意性，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝x 1＋x 22对称．

(2)由(1)可知，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数).

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[典题2] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

[解] 解法一(利用一般式)：

设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

由题意得????? 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得????? a ＝－4，b ＝4，c ＝7.

∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.

解法二(利用顶点式)：

设f (x )＝a (x －m ) 2

＋n .

∵f (2)＝f (－1)，

∴抛物线的对称轴为x ＝2＋ －1 2＝12

， ∴m ＝12

. 又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ? ??

??x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ? ??

??2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，

∴f (x )＝－4? ??

??x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 解法三(利用零点式)：

由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1，

故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，

即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.

又函数的最大值为y max ＝8，即4a －2a －1 －a 24a

＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)． ∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.

[点石成金] 求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；

(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；

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(3)已知图象与x 轴两交点的坐标，宜选用零点式.

为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )

A ．y ＝14

(x ＋3)2 B ．y ＝－14(x －3) 2 C ．y ＝－14

(x ＋3) 2 D ．y ＝14(x －3) 2 答案：D 解析：由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x

轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为42＋22

＝3，即C (－3,0)．因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函

数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3) 2 (a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14

，即y ＝14

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