线性代数第五版答案(全)

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:201(1)1 4 ; 183

解

2011 4 183

=2×( 4)×3+0×( 1)×( 1)+1×1×8 0×1×3 2×( 1)×8 1×( 4)×( 1)= 24+8+16 4= 4.

abc(2)bca;cab解

abcbcacab

=acb+bac+cba bbb aaa ccc=3abc a3 b3 c3.

111(3)abc;a2b2c2

解

111abca2b2c2

=bc2+ca2+ab2 ac2 ba2 cb2=(a b)(b c)(c a).

xyx+y(4)yx+yx.x+yxy

解

xyx+yyx+yxx+yxy

=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx y3 (x+y)3 x3=3xy(x+y) y3 3x2y x3 y3 x3= 2(x3+y3).

2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:

(1)1234;解逆序数为0(2)4132;解逆序数为4:(3)3421;解逆序数为5:(4)2413;解逆序数为3:

21,41,43.

(5)13 (2n 1)24 (2n);

n(n 1)

解逆序数为:

2

32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)

32,31,42,41,21.41,43,42,32.

(2n 1)2,(2n 1)4,(2n 1)6, ,(2n 1)(2n 2)(n 1个)(6)13 (2n 1)(2n)(2n 2) 2.解逆序数为n(n 1):

32(1个)52,54(2个)

(2n 1)2,(2n 1)4,(2n 1)6, ,(2n 1)(2n 2)(n 1个)42(1个)62,64(2个)

(2n)2,(2n)4,(2n)6, ,(2n)(2n 2)(n 1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为

( 1)ta11a23a3ra4s,

其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是

( 1)ta11a23a32a44=( 1)1a11a23a32a44= a11a23a32a44,( 1)ta11a23a34a42=( 1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:

41(1)0解

1251202112542;072024c2 c342======10 1

23202 104 1 10

2=122×( 1)4+3 14410

1

1

7c4

7c3001

3 14=4 110c2+c399123 142======c0010 2=0.1+2c31714

241(2)31 1252103162;22 1

404解

3121211c4 c2r5

36

2=====223 1142152200

==4 r3==22=3

12006

22

21132400

r4 r12

140=====312122030

0=0.00

(3) bdabbf acaecfcd deef

;

解

bdabbf accfcdae deef=adf bbceb cc ee=adfbce 1111 111

1=4abcdef.

a1(4) 00解

1b 1001c 100.1d

0r1+ar201+ab0===== 1b

0 11

d00

a

1001b 1001c 1a1c 1001d

+aba0c3+dc2+abaad

=( 1)( 1)2+1 1c1===== 1c1+cd

0 1d0 10

abad=abcd+ab+cd+ad+1.=( 1)( 1)3+2+ 11+cd

5.证明:

a2abb2

(1)2aa+b2b=(a b)3;

111

证明

a2abb2c2 c1a2ab a2b2 a22aa+b2b=====2ab a2b 2a

00111c3 c11

222

ab ab ab+a=(a b)3.=(b a)(b a)a=( 1)12b a2b 2a

3+1

ax+byay+bzaz+bxxyz

(2)ay+bzaz+bxax+by=(a3+b3)yzx;az+bxax+byay+bzzxy

证明

ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bz

xay+bzaz+bxyay+bzaz+bx=ayaz+bxax+by+bzaz+bxax+byzax+byay+bzxax+byay+bzxay+bzzyzaz+bx=a2yaz+bxx+b2zxax+by

zax+byyxyay+bzxyzyzx=a3yzx+b3zxy

zxyxyzxyzxyz=a3yzx+b3yzx

zxyzxyxyz=(a3+b3)yzx.

zxya22b(3)2cd2

证明

(a+1)2(b+1)2(c+1)2(d+1)2

(a+2)2(b+2)2(c+2)2(d+2)2

(a+3)2(b+3)2

=0;(c+3)2(d+3)2

a2b2c2d2(a+1)2(b+1)2(c+1)2(d+1)2(a+2)2(b+2)2(c+2)2(d+2)2(a+3)2(b+3)2

(c4 c3,c3 c2,c2 c1得)(c+3)2(d+3)2

a22b=c2d22a+12b+12c+12d+12a+32b+32c+32d+32a+5

2b+5(c4 c3,c3 c2得)2c+52d+

a22b=c2d2

1a(4)a2a4

1bb2b4

2a+12b+12c+12d+11cc2c4

1dd2d4

222222=0.22

=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a+b+c+d);证明

1aa2a4

1bb2b4

1cc2c4

1dd2d4

1110b ac ad a=0b(b a)c(c a)d(d a)0b2(b2 a2)c2(c2 a2)d2(d2 a2)

111

=(b a)(c a)(d a)bcd

222

(b+a)c(c+a)d(d+a)11

=(b a)(c a)(d a)0c bd b

0c(c b)(c+b+a)d(d b)(d+b+a)1=(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)c(c+1b+a)d(d+b+a)=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a+b+c+d).

x

0(5)

0an 1x 0an 10 1 0an 2

0000

=xn+a1xn 1+ +an 1x+an.x 1a2x+a1

证明用数学归纳法证明.

x 1=x2+ax+a,命题成立.当n=2时,D2=a122x+a1假设对于(n 1)阶行列式命题成立,即

Dn 1=xn 1+a1xn 2+ +an 2x+an 1,

则Dn按第一列展开,有

1

Dn=xDn 1+an( 1)n+1 x

1

0 1 1

00 x

00 1

=xDn 1+an=xn+a1xn 1+ +an 1x+an.因此,对于n阶行列式命题成立.

6.设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转,依次得

an1 annD1= ,

a11 a1n

证明D1=D2=( 1)

证明

n(n 1)2

a1n annann a1n

D2= ,D3= ,

a11 an1an1 a11

D,D3=D.

因为D=det(aij),所以

a11

an1 ann

D1= =( 1)n 1an1

a11 a1n

a21a1nann a2n

a11a21

=( 1)n 1( 1)n 2an1

a31

a1na2n

ann= a3n

n(n 1)2

=( 1)1+2+ +(n 2)+(n 1)D=( 1)同理可证

D.

D2=( 1)

n(n 1)112

a an1n(n 1)n(n 1)

=( 12DT=( 1)2D.a1n ann

n(n 1)2

D3=( 1)

n(n 1)2

D2=( 1)

( 1)

n(n 1)2

D=( 1)n(n 1)D=D.

7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):(1)Dn=都是0;

解

a1

1

a

,其中对角线上元素都是a,未写出的元素

a0Dn=0

010a0 0000a 00 000 a010

0(按第n行展开) 0a

0an+1

=( 1)0

000a 0000 0 000 a

1

a0

+( 1)2n a 0

a(n 1)×(n 1)0(n 1)×(n 1)

=( 1)n+1 ( 1)n

a

a(n 2)(n 2)

+an=an an 2=an 2(a2 1).

x

(2)Dn= a

aax a aa; x

a 0 0, 0x a

解将第一行乘( 1)分别加到其余各行,得

xaaa xx a0Dn=a x0x a

a x00

再将各列都加到第一列上,得

x+(n 1)aaa

0x a0

Dn=00x a

000an(a 1)n

an 1(a 1)n 1

(3)Dn+1=

aa 111

a

0

0=[x+(n 1)a](x a)n 1. 0x a

(a n)n …… 此处隐藏：2925字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……