2019数学【北师大版】第一章 三角函数 习题课——函数y=Asin(ωx

习题课——函数y=A sin(ωx+φ)的综合应

用

课后篇巩固探究

1.下列函数中,在上是减少的,且周期为π的是()

A.y=sin

B.y=cos

C.y=sin

D.y=cos

中函数周期为2π,所以错误.当x∈时,2x+,函数y=sin为减少的,而函数y=cos为增加的.

2.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于()

A.B.C.2 D.3

ω>0,-≤x≤,∴-≤ωx≤.

由已知条件知-≤-,∴ω≥.

3.将函数y=2sin的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为f(x),则函数f(x)的单调递增区间是()

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

函数y=2sin的周期T==π,

∴将函数y=2sin的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为

f(x)=2sin=2sin,

∴令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

∴函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.故选A.

4.函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位长度后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为()

A.-

B.-

C.

D.

f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位长度得y=sin=sin

的图像.

又其为奇函数,则+φ=kπ,k∈Z,

解得φ=kπ-.

又|φ|<,令k=0,得φ=-,

∴f(x)=sin.

又∵x∈,

∴sin,

即当x=0时,f(x)min=-,故选A.

5.导学号93774033当x=时,函数f(x)=A sin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f()

A.是奇函数且图像关于点对称

B.是偶函数且图像关于点(π,0)对称

C.是奇函数且图像关于直线x=对称

D.是偶函数且图像关于直线x=π对称

当x=时,函数f(x)取得最小值,

∴函数f(x)的图像关于直线x=对称,

∴由f(0)=f得φ=+kπ,k∈Z,

∴f(x)=A sin,k∈Z,

∴f=A sin

=A sin(π-x+kπ)=

∴y=f是奇函数,且图像关于直线x=对称.

6.已知关于x的方程sin=k在区间上有两个不同的实数解,则k的取值范围为.

f(x)=sin.

∵x∈,∴≤2x+.

易知函数f(x)=sin上是增加的,在上是减少的,

∴当方程sin时,有f(0)≤<f,即1≤k<.

)

7.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图像的对称轴完全相同.若x∈,则f(x)的取值范围是.

ω=2,所以f(x)=3sin.

因为x∈,所以2x-,

所以f(x)∈.

8.函数y=A sin(ωx+φ)的最大值是3,对称轴方程是x=,要使函数的解

析式为y=3sin,还应给出的一个条件是.(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形)

:周期T=π,则ω==2,此时y=3sin(2x+φ).

由对称轴方程是x=×2+φ=kπ+(k∈Z).取k=0,得φ=.

此时y=3sin,符合题意.

,如周期T=π

9.导学号93774034将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则ω的最小值是.

y=sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数为y=sin ω.

再由所得图像经过点,

可得sin ω=sinω=0,

∴ω=kπ,k∈Z.

故ω的最小值是2.

10.已知函数f(x)=2sin+1.

(1)当x=时,求f(x)的值;

(2)若存在区间[a,b](a,b∈R且a<b),使得y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,在满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.

当x=时,f(x)=2sin+1=2sin(3π)+1=2sin π+1=1.

(2)f(x)=0?sin=-?x=kπ-,k∈Z或x=kπ-π,k∈Z,即f(x)的零点

间隔依次为.

故若y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,

则b-a的最小值为2×+3×.

11.已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.

(1)求ω的值;

(2)设α,β∈,f=-,f,求cos α,sin β的值.

由已知得=10π,∴ω=.

(2)∵f(x)=2cos,

∴f=2cos=-2sin α,

f=2cos=2cos β.

又f=-,f,

∴sin α=,cos β=.

又∵α,β∈,

∴cos α=,sin β=.

12.导学号93774035已知f(x)=A sin(A>0)的最大值为6.

(1)求A;

(2)将函数y=f(x)的图像先向左平移个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像.求g(x)在上的值域.

因为A>0,所以由题意知A=6.

(2)由(1)得f(x)=6sin.

将函数y=f(x)的图像先向左平移个单位长度后得到

y=6sin=6sin的图像,

再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到

y=6sin的图像,

因此g(x)=6sin.

因为x∈,

所以4x+.

故g(x)在上的值域为[-3,6].