用物理学热传导理论剖析二阶齐次线性偏微分方程的本质

用物理学热传导理论剖析二阶齐次线性偏微分方程的本质

第2卷第 1 2期2 0年 3月 08

西昌学院学报 自然科学版J u a f c a gColg au a ce c dt n o r l h n l e N trl in eE io n o Xi e S i

V 1 2 NO. o. . 2 1 Ma .2 o t. 0 8

用物理学热传导理论剖析二阶齐次线性偏微分方程的本质董丽华f i工东学院师范学院，宁丹东 180 )辽 10 1【摘要】本文利用物理学中常见的热传导理论，形象地阐释了二阶齐次线性偏微分方程的本质。 【关键词】二阶齐次线性偏微分方程；热传导理论【中图分类号1 15【 07文献标识码】【 A文章编号】63 19 (080— 030 17—8 120 )105—2

微分方程的产生是与物理学、文学、融学天金等应用学科的发展相辅相成的。现实世界中绝大多数事物的内在联系是极其复杂的，状态随着时其

刻t l的

)变为 t刻的改 e时

所吸收(或

释放 )的热量 Q,等于从到 t。应 e时间内通过 L入进 (流出)或 D内的热量 Q和 D内热源提供的热量 Q的。:总和。 下面来决定 D内温度改变所需的热量 Q。

间、地点、条件的不同而不同，我们只能通过对问题进行简化和某些假定，中找出其状态和状态的变从化规律之间的关系，就是一个或一些函数与它们也的导数之间的关系，种关系的数学表达式就是微这分方程。其中偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程，描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。在解决实际问题中，我们更多地应用二阶线性偏微分方程。

首先，假定物体的比热为 z密度为px,。 ), ( y ),:则无穷小体积=d 的温度由 f高到『 )升( 所需要的热量 d Q为：d= /, z一u, z v Q c/ y, p ,t y, ,t

整个 D由于温度改变需要的热量是：

Q『[, )“,::』“,一(y ) J (y,】根据牛顿一莱布尼兹公式

二阶线性偏微分方程是指具有如下形式的方程：a+ u u k c2 3

u y,一，z 1,z u y,:\日 .t,t|+ d+ e+u gx ) f= (, y

+ c

其中a, e,

为常数，为 6,和的函数。

于=『p:是Q『cr』

: ' .} f』cO4 d IJ u t ' v p

进而求出通过 L进入 D的热量 Q。通过傅里叶 1利用物理学中的“热传导现象”揭示二阶，热传导定律，以知道：无穷小时间间隔 d内通可在 t齐次线性偏微分方程所蕴涵的热传导过程的一

般规律当物体内部各处的温度不一致时，量就会从热

过一个法矢量为 n无穷小曲面 d,向 n的 S流所指那一

高温处向低温处传递，这被称为“热传导现象”。现在假定存在一导热物体，在空间中占据的区域为它 G,界面为 a用温度函数 U,Zf示物体在 t边 G, (y,) X￣表 时刻和 (,z位置的温度，建立温度函数需要满 x, y)来足的关系式。 设想从物体 G内任意割取一个由光滑曲面 L所围成的区域 D(图 1。见 )

侧的热量为： d - (, z。 st Q= kx, o d d y ) u

其中k,z (Y) x,是该物体在点(,z处的热传导系 x, y)数。它恒为正，数值大小取决于组成物体的材料的

性质；是曲面的外法线，是温度函数在(y) n籍 x,, z处沿外法线 n的方向导数。其中n所指的那一侧为 d S的正侧，因此，式表示了在 d时间内从 d该 t s的负侧流向正侧的热量。因为热量总是从温度高的一侧流向温度低的一侧，以用负号表示热流的方向所与温度梯度的方向相反。 考虑光滑封闭曲面 L设在其上确定了一条连，续变动的单位外法线 n则在两个时刻 t和 t内，,。 经由该物体内任意封闭曲面L进入 D的热量为：

G

Q一： Fst。 f胁 = I FJ dd应用奥斯托洛夫斯基一高斯公式，有图 l热量在物体内部的传导

根据热量守恒定律， D内各点的温度由任一时收稿日期：0 7 1— 1 2 0— 2 0

Qf岳+(+}0。{ (专言 ) =删 ) ) (’:

作者简介：董丽华(9 1 )女， 17一，满族，宁丹东人，,辽硕士讲师，主要从事数学教学及研究工作。

用物理学热传导理论剖析二阶齐次线性偏微分方程的本质

西昌学院学报 自然科学版

第 2卷 2

最后求热源提供的热量 Q。

上面得出的只是热传导过程的一般规律，仅仅

物

体内部可能存在热源，如果令物体内部的热源密度为 V x,,>, (, z ) 0则在时问 (,) y t h:内物体热源所产 t生的热量为：

Q ff ( zd J,)l=【,vt t d根据热量守恒定律有：

Q,Q=Q+ 2于是有：

依靠它还不能确定某一特定物理过程的具体状况。为了确定具体的物理状况，仅依靠传导方不程，还必须另外附加条件。这在物理意义上很明显，只要知道物体在某一时刻 t o的温度分布和它在 t。≥t时边界扣上的热状态，就可以完全确定该物体在t o以后时刻的温度变化情况，描述这些状况的数学条件分别称为初始条件和边界条件，称为定解通条件。 初始条件给出了t o时刻的温度分布， 即：H

r害(~考一 .{一)]) 寿言一 z喂薏由于时间间隔 (z ) tt以及区域 D是任取的， ,因此

I= (Yz ( z G,妒， ) ) ,, ∈

在任意时刻，该物体内任意点，上式中的三重积分恒等于 0。所以在我们所考察的空间范围和时间范围内恒有：c

边界条件给出边界面上的热状态， G它的形式有以下三种情况。 第一边界条件：直接给出物体在边界a上的温 G度。I

势=器)嘉器J毒( )尸x’『鲁+ +七+ (_,警 ':) v

Ua l G=妒 Y z, (,,)

( z∈c ) 3 c

这就是温度函数应当满足的偏微分方程。如

第二边界条件：果已知单位时间内通过如 a G上单位面积从物体向外流出的热量，即已知热

果物体是均质的， k和 P均为常数。则， c令 a= c 。k]p

流 (,)k,) a强q,, (,器} xz一 xz G Yt Y这时的边界就是"

则方程可以改写为：

害 l 0:厂叫 (+ 2…~ ) + (~ O I, x a+ 2 J在没有热源的情况下，也就是说 Fx,f O (Y,,,z)上=述方程可以进一步改写为齐次方程：

I O G

妒(,,) t b Y z,≥

枣：。++ I“ df 血如果该物体是一长度为 L的均匀长杆，热传则导方程的形式为：

第三边界条件：如果已知物体周围介质温度 s (y,, x,t,z)根据热交换

定理，在单位时间内通过物体表面单位流向介质的热量 q,同物体与介质在表面的温度成正比， q h s其中h即=( ) u—,是热交换系数，仍然。

根据傅里叶定律，:七： 有一 qU

即 k.一 (— 1 Y Z: hu S

署=口一

,∈ xL

因此，时的边界条件为：这

在物理上，该方程定义了热量在空间中传导的种模式：(t u, x)代表了在一根两端绝缘的匀质细长棒中各个点的温度，随着细棒长度 X它和时间 t的变化而变化，其变化规律满足的方程就是我们所研究的二阶齐次线性偏微分方程。换句话说，二阶齐次线性偏微分方程在物理学中反映了一种热传导过程。

(器+ )G Y,, 0 k l= (,,,, 。 ),其中为 G上的已知函数。 由此我们可以得知，阶齐次线性偏微分方程二不仅刻画了一个随着时间不断演化的动态热传导

过程，而且通过对传导方程加上初始条件和边界条件，可以捕捉到某些特定的时刻，们所关心的还我

由此，我们对二阶齐次线 2在相应的定解条件下，确定某一特定物理物理量的某种特殊状态，性偏微分方程就有了更深刻的理解。 过程的具体状况注释及参考文献：…龚德恩.经济数学基础【 .: MJ成都四川人民出版社， 0 . 2 5 0 fl 2邵宇.观金融学及其数学基础【 .微 M】北京：清华大学出版社， 0 2 3 0(转6下 9页)

用物理学热传导理论剖析二阶齐次线性偏微分方 …… 此处隐藏：4116字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……