中国矿业大学2011级第一学期期中考试高数答案

一、1．1 2. 4 3.(-1)n·(2/3)n·(1/3)·n! 4.y 2x 1 0 5.

2xsin2x cos2x

x

2

二、1. C 2. D 3. B 4. y=e x 5. C （选择填空均每题3分） 三、1. （10分） 求x 0(

解：原式=lim

x 0

lim

11 x). sinxe 1

ex-1-sinx sinx(e-1)

x

= lim

x 0

ex-1-sinx

x2ex-cosx ex sinx1

=lim =lim =

x 0x 022x2

或者：原式=lim

x 0

ex-cosx cosx(ex-1) sinx ex

=lim

x 0

ex sinx

-sinx(ex-1) 2cosx ex sinx ex

=

1

2

x arctgtdyd2y

,2 2.（10分）.设 ,求2

y ln(1 t)dxdx

ddy2t

(2t)2

dy2dy2解 2t 2 2(1 t2)

dxdx

dt1 t2dt1 t2

3.（10

分）求函数f(x) (2x [ 1,2]上的最大值和最小值。 解 f (x)

10x 1 ，得驻点x 1和不可导点x 0。 4分 3x

23

由 f(1) 3,f(0) 0,f( 1) 7,f(2) 2， 3分

比较可得 最大值为f(0) 0，最小值为f( 1) 7. 3分 4.（10分）设y y(x)由2y3 2y2 2xy x2 1确定，求y y(x)的驻点，

并判断它是否为极值点。

解：6y y 4y y 2y 2xy 2x 0，令y 0得y x

32

代入方程：2x x 1 0，得唯一驻点： x = 1 5分

2

12y (y )2 6y2 y 4(y )2 4y y 4y 2xy 2 0

1

0，故x = 1为极小点。 5分

y 12

x

5.（10分）设常数k 0，判断方程lnx k 0在(0, )内实根的个数，并说明理由。

e11x

解 设f(x) lnx k，f (x) ，当x e时，f (x) 0，f(x)单调减少；

xee

当0 x e时，f (x) 0，f(x)单调增加； 5分

lnx1k

f(x) limf(x) limx( ) ， 又 f(e) k 0，lim，

x x x 0 xex

所以，方程在(0,e)和(e, )内分别有且仅有一个实根。 5分

所以，y x 1

x t2 1

6.（10分）已知曲线L的方程为 2

y 4t t

（1）讨论L的凹凸性；

(t 0)，

（2）过点( 1,0)引L的切线，求切线的方程。 解：（1）

dxdydy4 2t2

2t, 4 2t, 1 dtdtdx2tt

dy

d 1d2y1 2 1 dx 0(t 0处) 2 3

dx2dtt2tt dt

5分 所以，曲线L(在t 0处)是凸的。（2）切线方程为y 0

2 22

， 1 (x 1)，设切点x0 t0 1，y0 4t0 t0

t

2

则 4t0 t0

2 2232

1 (t0 2),4t0 t0 (2 t0)(t0 2) t 0

2

得 t0 t0 2 0,(t0 1)(t0 2) 0 t0 0 t0 1

切点为（2，3），切线方程为y x 1 5分

，1]具有三阶连续导数，且f( 1) 0,f(1) 1， 7.（10分）.设函数f(x)在[ 1

f'(0) 0，求证：在（-1，1）上存在一点 ，使f'''( ) 3

证：f(x) f(0) f'(0)x

11

f''(0)x2 f'''( )x3 2!3!

其中 (0,x),x [ 1,1]

11

f''(0) f'''( 1)26

将x=1，x=-1代入有

11

1 f(1) f(0) f''(0) f'''( 2)

26

0 f( 1) f(0)

两式相减：f'''( 1) f'''( 2) 6

1

[ 1， 2]， f'''( ) [f'''( 1) f'''( 2)] 3

2