2018年西北师范大学教育学院636数学教育综合之高等代数考研冲刺

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2018年西北师范大学教育学院636数学教育综合之高等代数考研冲刺狂背五套题（一） (2)

2018年西北师范大学教育学院636数学教育综合之高等代数考研冲刺狂背五套题（二） (12)

2018年西北师范大学教育学院636数学教育综合之高等代数考研冲刺狂背五套题（三） (20)

2018年西北师范大学教育学院636数学教育综合之高等代数考研冲刺狂背五套题（四） (28)

2018年西北师范大学教育学院636数学教育综合之高等代数考研冲刺狂背五套题（五） (37)

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第 2 页，共 45 页 2018年西北师范大学教育学院636数学教育综合之高等代数考研冲刺狂背五套题

（一）

说明：本套狂背五套题按照考研侧重点和出题难度，严格筛选提取了历年考试高频核心试题及重点题型，更突出针对性和实战性，适用于考研冲刺最后狂背。

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一、分析计算题

1． 设A 是

矩阵

，证明： （1）

（2）

【答案】 （1）由己知，存在

可逆矩阵P ，Q ，使得

记

则结论成立.

（2）记

由（1）得

2． 计算

【答案】将行列式升阶

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这是个箭形行列式，当时，有

当

时，上述结果显然也成立.

3． 设向量组

线性无关，向量组

线性相关，试证

：不能由

线性表示.

【答案】用反证法，若可以由线性表示，即

则

[否则若

则由

知

线性相关，

矛盾].由可解得

再由线性相关

，存在不全为零的秩

使

类似可证

[否则

线性相关，这与

线性无关矛盾].由解得

但线性无关，表示法惟一，由

可得矛盾，即证不能由

线性表示.

4． 设

其中I

是’’阶单位矩阵

，

是

n 维非零列向量

，

是的转置，证明：

（1）的充要条件是

（2）当时，A 是不可逆矩阵.

【答案】⑴

是非零列向量,

由①式有

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（2）用反证法.若A 可逆，

当时，由上面（1）

有

即

但

矛盾，所以A 是不可逆矩阵.

5． 作一个一元多项式，使它的各根分别等于

的根的倒数.

【答案】由0不是

的根，令

于是

故多项式

为所求.

6． 设X 、Y 是两个n 维向量，A 为n 阶实方阵，证明：

（1）若A 半正定，则

（2）若A 正定，则

【答案】 （1）因为A 半正定，故存在正交阵T ，使

令

由柯西公式得

（2）因为A 正定，故存在正交阵T ，

所以

取

.则

所以