【智博教育原创专题】指数函数与对数函数图象交点个数探究

探究函数y a与y logx图象的交点个数问题 x

a

函数y ax与y logax(a 0,a 1)互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于a的取值．

xx y a y a【探究】由 ， 得 y(x 0,y 0) y logax a x

⑴当a 1时,①+②，得y ay ax x,令f(x) ax x,x 0,则f(y) f(x),即f(ax) f(x)。 a 1， f(x)为增函数, ax x. 两边取自然对数,得lnax lnx,即xlna lnx 0。令

11g(x) xlna lnx，x 0求导,得g (x) lna ，令g (x) 0,得x 。 xlna

当x变化时，g (x),g(x)的变化情况如下表：

由上表可知,当x g(x)min时,g(x)极小值=1 ln 1 ln(lna), g(x)只有一个极值, lnalna 1 ln(lna).

1

e⑴当1 ln(lna) 0，即a e时，方程g(x) 0无解，此时函数y ax与y logax的图象没有交点； ⑵当1 ln(lna) 0，即a e时，方程g(x) 0有一解，此时函数y ax与y logax的图象有一个交点；

⑶当1 ln(lna) 0，即1 a e时，由于g(x)在(0, )内连续，且当x 0 时，g(x) ；当1

e1e

x 时，g(x) , 方程g(x) 0有两解，此时函数y ax与y logax的图象有两个交点． ⑵当0 a 1时由①、②，消去y，得aa x③，由于ax 0，且0 a 1，故0 aa 1,即0 x 1。xx

lnxlnx，两边取自然对数，得xlna ln，令lnalna

lnx11，令h(x) ln xlna,x 0,1 ，求导，得h (x) lna，由h (x) 0，得xlnx lnalnaxlnx

111 (x) xlnx ,x (0,1)．则 (x) lnx 1。由 (x) 0，得x 。当x (0,)时， (x) 0；lnaee

11111当x (,1)时， (x) 0, 当x 时， (x)min () 。 eelnaee

111㈠当 0，即a e时， (x) 0恒成立。elnae

1111)0 ，即h (x当且仅当a e，且x 时取“＝” xlnx , 0 a 1,0 x 1, lna 0，lnaxlnxee

号。 h(x)在(0,1)内是减函数，又 当x 0时，h(x) ；当x 1时，h(x) ，且h(x)对③式两边取自然对数，得axlna lnx，即ax 在(0,1)内连续， 方程h(x) 0恰有一解，此时函数y ax与y logax的图象有一个交点。

111 0，即0 a e时， lim (x) lim (x) 0，且 (x)在(0,1)内连续， x 0 x 1 elnalna

11存在m (0,),n (,1)，使得 (m) (n) 0, h (m) h (n) 0，当x变化时，h (x),h(x)的变化ee㈡当 1e