数学建模交通拥堵论文(2)

记T1------ 驾驶员的反应时间； T2------ 汽车通过十字路口的时间； T3------ 停车距离的驾驶时间；

则T T1 T2 T3为黄灯应亮的时间。下面计算T2、T3：

设法定行驶速度为v0，十字路口的长度为I，车长为L，则汽车通过十字路口的时间为

T2

I L

. v0

注意，车的尾部必须通过路口，这样路口的实际长度就是I L .

停车过程是驾驶员踩刹车踏板产生的一种摩擦力，使汽车减速直至停止。设为汽车质

量，f为刹车摩擦系数，x(t)为行驶距离，刹车制动力为fmg（g为重力加速度）。有牛顿第二定律，刹车过程满足下述运动方程：

d2x

m2 fmg dt

初始条件为：x(0) 0,

dxdx

v0.对微分方程积分一次，并代入条件|t 0 v0，得|dtt 0dt

vdx

fgt v0.令末速度为零，的刹车时间为t1 0对上式子在积分一次，并代入条件

fgdt

v02v01v02112

. x(0) 0 ,得x(t) gt v0t.故停车距离为x(t1) fg() v0

2fgfg2fg2

所以 T3

x(t1)1v0

.

v02fg

驾驶员的反应时间，可根据统计数据经验得到，通常为1到2秒。这样，求得黄灯应亮时间为T

I Lv0

T1. v02fg

根据我们对梅林关的调查统计数据有，汽车通过路口的行驶速度大约为35.7km/h，路口长度30m，车身长度为5m,汽车平均质量1300kg，通过红灯口出的车次是每分钟约为60辆，沥青路面刹车摩擦系数为0.8。

由上述公式代入数据，即黄灯应该设置的最佳时间约为6秒。

模型三、线性规划的数学模型

在人们传统的观念中解决城市道路交通拥堵的指导思想是，在车辆任意增加的前提下增加道路，以减小车辆静止平均密度，实现交通畅通，但是，随着经济的发展，汽车生产技术的提高，使道路的增长速度跟不上车辆增长速度，这就导致了车辆静止平均密度逐年增大，结果花费了大量人力物力财力修路架桥，但换来的不是交通顺畅，而是越来越严重的交通拥挤。可见错误的规划思路是城市交通发展走上恶性循环的直接原因。根据可持续发展的战略思想我们下面根据调查梅林关的具体交通状况建立线性规划[2]的数学模型。如下:

minf c1x1 ……+cnxn (1)

目标函数（1）表示所有交通工具的总费用（包括固定资产费用、维持运行费用和污染费用）。

1111nn1

st. a21x1 …… a2nxn b2 (3) x1 0,…,xn 0(4)

约束条件（2）表示所有交通工具所能承载的人数大于等于该十字路口瞬时交通流量的最大值(人)。

约束条件（3）表示所有交通工具所占有的总面积小于等于该十字路口的总面积。 其中xj 表示第j种交通工具(辆),( j = 1, , n)。cj 表示第j 种交通工具单车费用系数(包括固定资产费用、维持运行费用和污染费用) (元/年. 辆)。a1j表示第j 种交通工具单车载客量(人/辆)。b1 表示A 城市道瞬时交通流量的最大值(人)。a2j表示第j 种交

b2表示通工具单车按规定的最大速度安全行驶时所必须占用的最小道路面积(平方米/辆)。A 城市道路总面积(平方米)。

该线性规划模型对城市道路交通规划的解释为: 求该线性规划问题的最优可行解, 确定交通工具的种类和数量, 使其在现有人口和道路的条件下(b1 和b2 为已知) , 能安全快速行驶( (3) 式成立) , 能充分满足市民的交通需求( (2) 式成立) , 并且实现资源消耗最少、环境污染最小(f 达到最小)。

当人口增加时, b1 随之增大. 解决问题的办法是:

1) 适当增大a1j, 使对增大后的b1, 有a11x1 …… a1nxn b1；

2) 对增大后的b1, 在其他参数不变的前提下, 求模型的新的最优可行解；

3) 如果对增大后的b1可行解集是空集, 则适当增大b2, 即增加道路面积, 使可行解集非空。

为简化计算, 我们把交通工具按机动车辆和非机动车辆分成两类. 机动车辆(以公共汽车为代表) 用x1表示, 非机动车辆(以自行车为代表) 用x2表示。则模型变为：

minf c1x1 c2x2 (1)

目标函数（1）表示公共汽车和自行车的总费用（包括固定资产费用、维持运行费用和污染费用）。

1111221

st. a21x1 a22x2 b2 (3) x 0,x 0(4)2 1

约束条件（2）表示公共汽车和自行车所能承载的人数大于等于该十字路口瞬时交通流量的最大值(人)。

约束条件（3）表示公共汽车和自行车所占有的总面积小于等于该十字路口的总面积。 给出一组实验数据, 设c1 50000,c2 100, a11 50,a12 1，b1 5800000,

a21 100,a22 5,b2 78000000.则最优可行解为x1 0,x2 5800000.

比较斜率

c1

2

,

a11

12

,

a21

22

不难看出，最优最优可行解x1 0,x2 b1，对b1，

b2，c1，c2是非常稳定的。

从节约能源和保护环境的角度来看, 作为交通工具, 自行车是最佳选择. 但自行车有它的缺点, 如速度慢, 需要出行者本人驾驶等. 可见, 把自行车作为唯一的选择是不可行的.继续上面的讨论. 设已选定非机动车数量为2000000, 把非机动车的因素从模型中去掉, 只剩下机动车. 而进一步把机动车再分为大型机动交通工具(以公共汽车为代表, 记为x11) 和小型机动交通工具(以小汽车为代表, 记为x12) 两类, 则模型变为：

minf c1x11 c2x12 (1)

目标函数（1）表示公共汽车和小汽车的总费用（包括固定资产费用、维持运行费用和污染费用）。

(2) a11x11 a12x12 b1

st. a21x11 a22x12 b2 (3) x 0,x 0(4)12 11

约束条件（2）表示公共汽车和小汽车所能承载的人数大于等于该十字路口瞬时交通流量的最大值(人)。

约束条件（3）表示公共汽车和小汽车所占有的总面积小于等于该十字路口的总面积。 其中b1 1000000，b2 10000000，c1 50000, c2 50000, a11 1, a12 150,

a21 150,a22 80.用LINGO编写出程序计算的最优可行x11 0, x12 6667.所以该可行

解是非常稳定的。

由模型三再结合节约能源保护环境的理念我们可以得出：为了解决城市交通拥堵问题和交通的可持续发展，为了发展和谐社会建设城市文明，提高人们的生活质量，在深圳市关口的对交通工具的最佳选择是自行车和大型机动交通工具。

六 模型评价

在模型一中，考虑方面较少，可能出现误差。

在模型二中，综合考虑驾驶员的时间、车身长度及摩擦系数等多种因素，结合物理学和微分方程的知识使计算的黄灯闪烁时间更加准确。但是，将车速定为法定车速忽略了车辆变速行驶的情况，可能会使计算的黄灯闪烁时间不那么的精确。

在模型三中，把城市道路交通中的关键因素人，车，路，资源，环境有机的联系在一起，很好的体现了节约能源保护环境的理念。但是，计算使用的数据是根据交警多年的经验得出来的，可能与梅林关实际的车流量有出入。

七 参考文献

[1] 马锐，十字路口黄灯闪亮时间的数学建模分析，云南民族大学学报，第13卷第4

期，2004年4月

[2] 胡运权，运筹学基础及应用，北京市西城区：高等教育出版社，2008年第五版。 [3] 金松野，市交通网络与交通流的协调、优化与控制研究[M] . 上海:上海交通大学出版社,1998. 88 – 91。

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