线性代数 电子教案

《线 性 代 数》电子教案

第 一 讲

主要内容： 二、三阶行列式的定义； 全排列及其逆序数； n阶行列式的定义及其性质；

n 阶行 列 式 的 定 义 及 其 性 质

排列对换、n阶行列式的第二种定义.

基本要求： 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式； 知道n阶行列式的定义及其性质.2

第 一 节 2 阶 和 3 阶 行 列 式

一、二阶行列式的引入 a11 x1 a12 x2 b1 , 用消元法解二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .

1 2

1 a22 :

a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,

2 a12 : a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,两式相减消去 x2 ,得

(a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2 ;类似地，消去 x1,得 (a11a22 a12a21)x2 a11b2 b1a21 , 当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为

b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 , x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21由方程组的四个系数确定.

(3)

二、二阶行列式的定义定义 由四个数排成二行二列(横排称行、竖排 称列)的数表 a11 a12

a21 a22a11 a12

( 4)

表达式 a11a22 a12a21称为数表(4)所确定的二阶 行列式，并记作 a21 a22 ( 5)

即

a11

a12

a 21 a22

a11a22 a12a21 .5

二 阶 行 列 式 的 计 算 对 角 线 法 则

主对角线 副对角线

a11 a12 a21 a22

a11a22 a12a21 .

对于二元线性方程组 a11 x1 a12 x2 b1 ,

a21 x1 a22 x2 b2 .a11 a12 a21 a22 ,

若记系数行列式

D

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

D

a11

a12

a21 a22

,

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

D1

b1 b2

a12 a22

,

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

D

a11

a12

a21 a22

,8

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

D1

b1 b2

a12 a22

,

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

D2

a11

b1

a21 b2

.

则二元线性方程组的解为

b1 D1 b2 x1 D a11 a21

a12 a22 , a12 a22

a11 b1 D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22

注意

分母都为原方程组的系数行列式.

例1 求解二元线性方程组

3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.解

3 2 3 ( 4) 7 0, D 2 1

12 2 3 12 21, D1 14, D2 1 1 2 1

D1 14 D2 21 x1 2, x2 3. D 7 D 711

三、三阶行列式的定义定义

设有9个数排成3行 3列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a33列标

( 5)行标

记

a31 a32

a11

a12

a21 a22 a31 a32

a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,

a13

(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式.12

三 阶 行 列 式 的 计 算 对 角 线 法 则

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a23 a33

a11a22a33 a12a

23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .注意 红线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三 元素的乘积冠以负号.

说明

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.

利用三阶行列式求解三元线性方程组

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3

a11的系数行列式 D a21

a12 a22

a13 a23 0, a33

a31 a32

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1若记

a12

a13

D1 b2

a22 a23 ,

或

b1 b2 b 1

b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a3315

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1记

a12

a13

D1 b2 b3 b1

a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a3316

即

D1 b2 b3

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13

D a21 a22 a23 a31 a32 a33

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11得

b1

a13 a23 , a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a3318

D2 a21 b2 a31 b3

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11得

b1

a13 a23 , a33

D2 a21 b2 a31 b3

a11 a12 b1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 b2 . a x a x a x b ; a31 a32 b3 31 1 32 2 33 3 319