专题六 数论初步与规律探究讲义

专题六 数论初步与规律探究讲义

板块一：数论两宝——代数思想和枚举验证！

【引入】如下图所示，有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

【2010

三角形，是否存在完美三角形？如果存在，请求出；如果不存在，请证明.

【2008】将1、2、3、…、37共37个数重新排成一行，记作a1、a2、a3、…、a37，其

中a1=37，

a2=1，并使得a1 a2 ak能被ak+1整除（k=1,2,3,…,36） 求：（1）a37； （2）a3 ．

板块二：约数三大定律及其典型应用

约数个数定律：分解质因数，(指数+1)再连乘！ 约数和定律，约数积定律！

【2009】设n为不小于2的正整数，记n的所有正约数（包括1和n）的乘积为P（n）.已知P（n）=n12，则n的最小值为

板块三：与方程、不等式、函数有关的推理论证

【2009】某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数与，结果所得到的六位数恰是一个完全立方数，则+=（ ）

A．40 B．50 C．60 D．70

【2010】已知实数a，b

满足a b a2 3b2为质数，若a2 3b2的最大值为m，最小值为n，则m-n的值为（ ）

A. 12 B. 14 C. 11 D. 13

【2008】定义一种新运算 :x y x(1 y)，若不等式(x a) (x a) 1对 任意实数x都成立，则a的取值范围是

板块四：规律探究（循环、递推）

【2010】对于自然数n，定义g（n）表示1 + 2+ 3 +···+ n 的末位数字，则 g（1）+ g（2）+···g（2009）的个位数是（ ）

A. 5 B. 3 C. 0 D. 7

【2009】有一列数2003，3，2000，1997，3，1994，1991，3……从第五个数起，每个数都是它前面两个数的差的绝对值。则这列数中最小的数的是这个最小数第一次出现在这列数的第个位置.

【2011】由部分自然数构成如图的数表，用aij(i j)表示第i行第j个数，且

ai1 aii i，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两数的和。设第n行中各数

之和为bn，

（1）用bn表示bn 1 _____________

（2）试问：是否存在三行（分别记作第p、q、r行），使得br bq bq bp？ （请直接写出存在或不存在）

________________________

【2009】一农民将他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客，将余下的一半又半个卖给第二个顾客，……，照这种卖法，卖给第八个顾客后就一个也没有了，则该农民原有西瓜（ ）个

A．254 B．255 C．256 D．257

板块五：综合应用

【2008】某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从

上到下都是无限的.

此表中，主对角线上1n表示）；编码100在表中共出现次.

【2009】沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式

(a-d)(b-c)＞0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a-d)(b-c)≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，……，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有

(a-d)(b-c)≤0？请说明理由.

【西交大少年班2008年——2011年数学考试中涉及数论初步与规律探究的所有题

目】

【2008】15. 定义一种新运算 :x y x(1 y)，若不等式(x a) (x a) 1对任

意

实数x都成立，则a的取值范围是【2008】18. 某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以

及从上到下都是无限的.

此表中，主对角线上1n表示）；编码100在表中共出现次.

【2008】22.（本题满分7分）将1、2、3、…、37共37个数重新排成一行，记作a1、

a2、

a3、…、a37，其中a1=37，a2=1，并使得a1 a2 ak能被ak+1整除（k=1,2,3,…,36） 求：（1）a37； （2）a3 ．

【2009】5. 某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数与，结果所得到的六位数恰是一个完全立方数，则+=（ ）

A．40 B．50 C．60 D．70

【2009】7. 一农民将他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客，将余下的一半又半个卖给第二个顾客，……，照这种卖法，卖给第八个顾客后就一个也没有了，则该农民原有西瓜（ ）个

A．254 B．255 C．256 D．257

【2009】16. 设n为不小于2的正整数，记n的所有正约数（包括1和n）的乘积为P（n）.已知P（n）=n12，则n的最小值为

【2009】18. 有一列数2003，3，2000，1997，3，1994，1991，3……从第五个数起，每个数都是它前面两个数的差的绝对值。则这列数中最小的数的是这个最小数第一次出现在这列数的第.

【2009】23. （本题满分10分）沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，

0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作. c，d满足不等式(a-d)(b-c)＞

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周

0？请说明理由. 上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a-d)(b-c)≤

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，……，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有

(a-d)(b-c)≤0？请说明理由.

【2010】9. 已知实数a，b

满足a b a2 3b2为质数，若a2 3b2的最大值为m，最小值为n，则m-n的值为（ ）

A. 12 B. 14 C. 11 D. 13

【2010】12. 对于自然数n，定义g（n）表示1 + 2+ 3 +···+ n 的末位数字，则 g（1）+ g（2）+···g（2009）的个位数是（ ）

A. 5 B. 3 C. 0 D. 7

【2010】23. （本题满分10

则称此三角形为完美三角形，是否存在完美三角形？如果存在，请求出；如果不存在，请证明.

【2011】14. 由部分自然数构成如图的数表，用aij(i j)表示第i行第j个数，且

ai1 aii i，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两数的和。设第n行中各数

之和为bn，

（1）用bn表示bn 1 _____________

（2）试问：是否存在三行（分别记作第p、q、r行），使得br bq bq bp？ （请直接写出存在或不存在）

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2009年西交大少年班物理考试试题

西安交通大学2009少年班选拔

物 理 试 题

一、 单项选择题：每题只有一个选项正确。（每小题

1. 下列防止发生事故或处理事故的措施中正确的是（ ）

A. 发现高压线断头落地时，应立即将它捡起 B. 当电器设备失火时，应选用泡沫灭火器

C. 家庭电器中的保险丝熔断时，可换用不易熔断的铜丝或铁丝 D. 若家中使用的燃料是天然气，燃气报警器应安装在燃气灶的上方 2. 下图为a、b两个指甲刀，以下说法正确的是（ ）