清华大学微积分7

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作业P68 习题 习题3.2 13(5). 14(6). 15(2). 16(3). P73 习题 习题3.3 4(1). 5(5). 7(4). 9. P78 习题 习题: 5(5) (6) (8). 6(3). 7. 8. 复习P60—P78 复习2010-11-13 1

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第七讲

导数与微分(三)

一、导数与微分的运算法则 (续) 二、高阶导数2010-11-13 2

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一、导数与微分运算法则 1. 四则运算求导法则 2. 复合函数求导法则 3. 反函数求导法 4. 隐函数求导法 5. 参数方程求导法 6. 对数微分法2010-11-13 3

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5. 参数方程求导法( 1 ) 参数方程

x = a cos t [例1] 椭圆： 椭圆： y = b sin t

t ∈ [0 , 2π ]

x = a ( t sin t ) [例2] 摆线： 摆线： y = a (1 cos t )a 2010-11-13

,a > 0

2π a

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x = a cos 3 t 星形线： [例3] 星形线： 3 y = a sin t

t ∈ [0 , 2π ]

内旋轮线

a

隐函数方程： 隐函数方程：x + y = a , a > 02010-11-13 5

2 3

2 3

2 3

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(2) 参数方程求导法由参数方程： 设函数 y = f ( x ) 由参数方程： x = (t ) y = ψ (t )1

0

0

2

确定设 ′( t ), ψ ′( t ) 都存在 , 且 ′( t ) ≠ 0 , x = ( t ) 存在可导的反函数 t = ( x ). dy ? 如何求 dx 16

2010-11-13

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分析函数关系: 分析函数关系 y = ψ (t )

x = (t )

t = 1

1

( x)

y 通过 t 成为 x 的复合函数

y = ψ [

( x )]

利用复合函数和反函数微分法, 利用复合函数和反函数微分法 得

2010-11-13

dy dy dt dy = = dx dt dx dt

dx ψ ′( t ) = dt ′( t )

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x = a cos t [例9] 求椭圆： 求椭圆： t ∈ [0, 2π ] y = b sin t π 在t = 处的切线方程 . 4 [解] 解 π π a y = b sin π = b , 当t = 时, x = a cos = 4 2 4 4 2 a a ) 切点: M0 ( , 2 22010-11-13

dy 切线斜率: k = tanα = dx

t =π 4

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dy ψ ′(t ) b cos t b = = = cot t dx ′(t ) a sin t a

dy k= dx

t=π 4

b cos π b 4 = = a sin π a 4

b b a ) = (x 切线方程 : y a 2 2 b y = x + 2b 即 a2010-11-13 9

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6. 对数微分法

求幂指函数 f ( x ) = u( x )方法一: 方法一

v( x)

的导数

f ( x) = e

v ( x ) ln u ( x )

再应用复合函数微分法(链式法则) 再应用复合函数微分法(链式法则) 方法二: 方法二 利用对数微分法f ′( x ) [ln f ( x )]′ = f ( x) f ′( x ) = f ( x )[ln f ( x )]′2010-11-13 10

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[例1] 求幂指函数 y = (sin x )[解] 两边取对数 得 解 两边取对数, ln y = cos x ln(sin x )

cos x

的导数 y′

对数微分法

两边对 x 求导 , 得到 1 cos x y′ = ( sin x ) ln(sin x ) + cos x y sin x

解出 y ′ , 得

y′ = (sin x )2010-11-13

cos x

cos x [ sin x ln(sin x )] sin x11

2

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[例 2 ] 设 y =

3

[解] 解 1 ln y = [ln(x 1) + ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)] 3 y′ 1 1 1 1 1 ] = [ + y 3 x 1 x 2 x 3 x 4

( x 1 )( x 2 ) , 求 y′ ( x 3 )( x 4 )

y′ = y(ln y)′

1 ( x 1)(x 2) 1 1 1 1 ( ) = 3 + 3 ( x 3)(x 4) x 1 x 2 x 3 x 42010-11-13 12

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[例3] 证明星形线 例

x + y =a

2 3

2 3

2 3

上任一点处的切线介于 两坐标轴之 间的线段长度等于常数 。 [解] 求切线斜率 解 3 y 2 13 2 13 y′ = 3 x + y y′ = 0 3 3 x

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(x,y)处切线方程： 处切线方程： 处切线方程 3 y Y y = 3 ( X x) x

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化为截距式Y x + X 3 y = 3 xy ( x + y ) = 3 xy a X Y + =1 3 2 3 2 ax ay32 3 2 3 2 3

线段长度： 线段长度：

l = ( a x ) + ( a y) = a = a3 2 2 3 2 2 2

常数2010-11-13 14

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微分的简单应用 — 近似计算

当 x << 1时, 有 y ≈ dy 即 f ( x 0 + x ) f ( x 0 ) ≈ f ′( x 0 ) x或 f ( x 0 + x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) x f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) ( x x 0 )

当 x 0 = 0时 , 有 f ( x ) ≈ f ( 0 ) + f ′( 0 ) x2010-11-13 15

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例[解] 解

求 cos 60 1 2 ′的近似值

12 π cos 60 12′ = cos( + ) 3 60 180

π

12π ) = cos( + 3 10800

π

令 f ( x ) = cos x ,

x0 =

π3

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12π x = x x0 = 10800