2012年中考数学深度复习讲义(教案 中考真题 模拟试题 单元测试)

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（备战中考）2012年中考数学深度复习讲义 （教案+中考真题+模拟试题+单元测试）

等腰三角形

考点聚焦

1．等腰三角形的判定与性质． 2．等边三角形的判定与性质．

3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题． 备考后法

1．运用三角形不等关系， 结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．

2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．

3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题． 识记巩固

1．等腰三角形的性质定理及推论：____________________________．

2．等腰三角形的判定定理及推论：____________________________． 识记巩固参考答案:

1．等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； 等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边（三线合一）；等边三角形的各有都相等，且每个角都等于60°.

2．如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）． 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

典例解析

例1 （2011浙江衢州，23,10分）

ABC是一张等腰直角三角形纸板， C Rt ，AC BC 2.

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.

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E

Q

B

图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的 ADE和 BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这

两个正方形面积和为S2(如图2)，则S2=；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3(如图3)；继续操作下去 则第10次剪取时，S10 . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.

【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得AE DE EC,即EC 1,S正方形CFDE 1.如图乙，设MN x，则由题意，得AM MQ PN NB MN

x,

3

2

3x 解得x S正方形PNMQ (

3

89

又 1

89

甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，

S正方形CFDE

12

S ABC 1

解法2：如图甲，由题意得AE DE EC，即EC=1

如图乙，设MN x,则由题意得

AM MQ QP PN NB MN x

3

3x 解得x 又 1

3

即EC MN

甲种剪法所得的正方形的面积更大

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(2)S2 (3)S10

122

1

9

12

n 1

(3)解法1：探索规律可知：Sn

‘

12

14

1 1

9 9

2 2

剩余三角形的面积和为：2 S1 S2 S10 2 1 解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为2 S1=1=S1 第二次剪取后剩余三角形面积和为S1 S2 1 第三次剪取后剩余三角形面积和为S2 S3 21世纪教育网

第十次剪取后剩余三角形面积和为S9 S10 S10=

12

9

12

14

12

S2 14 S3

12

例

2 如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点．①AD平分∠BAC；②DE⊥AB， DF ⊥AC；③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③；①③②；②③①．

（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；

（2）请证明你认为正确的命题．

解析 （1）①② ③正确；①③ ②错误；②③ ①正确． （2）先证①② ③，如图1． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°．

在Rt△AED和Rt△AFD中，

DE DF,

AD AD,

∴△AED≌△AFD（HL）． ∴AE=AF．

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∴△AEF是等腰三角形，∴AD⊥EF．

再证②③ ①．

图1 图2 图3 方法一：如图2，DE⊥AB，EF⊥AD，DF⊥AC． 易证△DEH∽△DAE，△DFH∽△DAF． ∴

DEAD

DHDE

,DHDF

DFAD

，

∴DE2=AD·DH，DF2=DH·AD．

∴DE2=DF2，∴DE=DF，∴AD平分∠BAC． 方法二：如图3，取AD的中点O，连结EO，FO． ∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线． ∴OE=

12

AD，OF=

12

AD．

即O点到A，E，D，F的距离相等．

∴A，E，D，F四点在以O为圆心，

12

AD为半径的圆上，AD是直径，EF是⊙O的弦，

F，即ED DF ． 而EF ⊥AD，∴AD平分ED

∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC．

点评 本题是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）八年级上第111 页拓广探索题的变式与拓展，该例在教材中多次以不同形式出现，八年级（上）（人教版）第150页第13题，第158页第11题．因此， 在九年级的学习过程中一定要重视教材中的典型例题，习题，想一想这些题还可以进行怎样的变式， 与前后的知识与方法有什么联系，还可以得到什么结论等．这样可以不断提高自己的综合解题能力．

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2011年真题

一、选择题

1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形

BCED的面积为（ ）

（A）23

（B）33 （C）43 （D）63

D

BC

（第7题）

【答案】B

2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=

BCCD

;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

C

【答案】D 3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交

CE于点G，连结BE. 下列结论中：

① CE=BD； ② △ADC是等腰直角三角形； ③ ∠ADB=∠AEB； ④ CD·AE=EF·CG；

一定正确的结论有

G D

E

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A．1个 B．2个 【答案】D

C．3个 D．4个

4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别

交AC、AB

于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30 …… 此处隐藏：7541字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……