电大高等数学(专科)考试小抄

电大高等数学(专科)考试小抄

极限 limsinx

x 0x

1

〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓 基本积分公式 导数基本公式 (1) 0dx c

(c)' 0

(2) xa

dx

1a 1

xa 1

c (xa)' axa 1 (3) 1xdx ln|x| c (lnx)' 1x

(4) ax

dx ax

lna

c (ax)' axlna (5) exdx ex

c

(ex)'

ex

(6) sinxdx cosx c (cosx)'

sinx (7) cosxdx sinx c (sinx)'

cosx

〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓

133x x2

1x

x

12

xx x2

12

xx

x

1

1

1

x x 1 x x 22 x

3 x 3 〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓

cos0 1 cos

2

0 cos 1 lne=1 sin0 0

sin

2

1

sin 0 ln1=0

〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓 三、示例①

limx2 3x 2x 2x2 4

lim(x 2)(x 1)x 2(x 2)(x 2)

limx 1

x 2x 2 14

三、示例②

y e 2x xx，求dy（微分），先求导数解：

y' (e 2x xx)' (e 2x)' (xx)'令: 2x u3 (eu)' (x2

)'1 eu

u'

3

x2

2

1

e 2x

( 2x)'

3

2x2

1 2e 2x

322

x

1 dy ( 2e 2x

322

x)dx

三、示例②

y e 1

x

,求y'解：

y' (e

x 1

1x

)'令x 1 u

原式 （eu 1

x

)'

(eu)' (x 1)' euu' x 2 e

(x 1)' x 21 1x 1

2

e(x 1)

2

x 2

三、示例②涉及公式

(u v)' u' v'(u v)' u' v'(uv)' u'v uv' (uu'v uv'v)' v2

1

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sinx

x

dx sinx(1

x)dx

(sinx)2dx 2 (sinx)dx

令x u2 sinudu 2cosu c 2cosx c

三、示例③

1

1 x

x2edx1

ex1x2dx

1

exd

1

x令1x

u eudu eu c1 ex

c

三、示例③涉及公式1

x

dx 2dx

1x2

dx d

1x1

x

dx dlnx exdx d(ex c)sinxdx dcosxcosxdx dsinx

1x

02xedx

令2x u,ex v'

则u' 2,v v'dx exdx ex

原式 2xex|1

1x

002edx

(2e 0) 2 1x

0edx

2e (2e 2) 2

三、示例④

02xcosxdx令x u,cosx v'则u' 1,v cosxdx sinx

原式 xsinx20

021 sinxdx

xsinx

20

cosx|2

( sin 0) (cos

222 cos0)

2

1

三、示例④

02xsinxdx令x u,sinx v'

则u' 1,v sinxdx cosx

原式 x( cosx)20

021 ( cosx)dx

xcosx2 0

20

cosxdx

(

2

cos

2

0) sinx2

0 (sin

2

sin0)

1

三、示例④涉及公式

uv'dx uv u'vdx buv'dx uv|b

a

a bau'vdx

kx' k

x|b

a b a

2

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lim

x 1sin4x lim( x 1)( x 1)

x 0

x 0sin4x( x 1)

lim

(1 x) 1

x 0

sin4x( x 1) lim

x

x 0sin4x( x 1)

lim x1 x1

x 1 x 1

三、x 0sin4x limx 0sin4xlim

x 0

1114 2

8

示例②

1

设y x2

ex

，求y ．

1y (x2

ex

) x

2

1

ex

x2

1 ex

1

1y 2xex

x2

ex

1 1

x2

2x 1 ex

三、示例②

设y sin4x cos3

x，求y

y 4cos4x 3sinxcos2

x

三、示例②

设y xx lncosx，求y .

y (xx lncosx) xx

lncosx

令

cosx u 3 x 1

2 321

lnu 2x uu 1

32x2 1cosx(cosx) 31

sinx

2x2 cosxy sinxcosx tanx

三、示例②

设y lnx cosex

，求dy. 令ex

u,则cosex

cosu

y

lnx cosex

lnx

cosex

1x cosu 1

x

sinu u

1 sinex(ex) 1

exsinexxx

dy 1 x exsinex

dx

三、示例③

ln2 x ln2

xdx xdlnx令lnx u

u

2

du

3

u3

3 c lnx 3

c 三、示例③

1 5lnx

x

x=

1 5lnx dlnx 1 5lnx 1

5

d 5lnx

15 1 5lnx d 1 5lnx 令1 5lnx u1

10u2 c =110

1 5lnx 2

c 三、示例④

e

1

xalnxdx

令lnx u,xa

v ，则u

1x,v 1a 1a 1

x e

xalnxdx (lnx)

1a 1e11a 1xe 1a 1

1 1xa 1

xdx =(lne1a 1ea 1 ln11a 11a 1) 1ea

a 1

1xdx

1a 1ea 1 1a 1e

(a 1)

2

x1

1a 1ea 1 1a 11a 1 (a 1)2e (a 1)21

注意：a为几就代入几，比如

e

1

x2lnxdx中a为2，

e

1xlnxdx中a为1，

e

1

xlnxdx中a为，

e

1

lnxdxa为0

示例四（应用题）

某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？

3

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解：设圆柱体半径为R，高为h，则体积

V Rh

2

S表面积

V

2 Rh 2 R 2 2 R2

R

2

所以y2 2x上点B(1, 2)或B(1, 2)到到点

A(2,0)的距离最短．

示例四（应用题）

令：S 2VR 2

V

4 R 0 R3

2

R V

圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半2 径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

h 4V

答：当R V2 h 4V

时表面积最小，即用料

最省。

示例四（应用题）

欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底面边长为x，高为h。则：

62.5 x2h

h

62.5

x2

表面积为：S x2

4xh x2

250

x

令S 2x

250

x

2 0 x3 125 x 5

答：当底面边长为5米，高为2.5米时用料最省。 示例四（应用题）

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