高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

一,基本内容对定积分的补充规定:(1)当a= b时,∫ f ( x )dx= 0;a b

(2)当 a> b时,∫ f ( x )dx=∫ f ( x )dx .a b

b

a

说明在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.

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高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质1证

∫a[ f ( x )± g ( x )]dx=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

b

b

b

∫a[ f ( x )± g( x )]dx n= lim∑[ f (ξ i )± g (ξ i )]xiλ→0= lim∑ f (ξ i )xi± lim∑ g (ξ i )xiλ→ 0 i=1b i=1 n n

λ→ 0 i=1

=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)首页上页返回下页结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质2证b

∫a kf ( x )dx= k∫a f ( x )dx∫a kf ( x )dx= lim∑ kf (ξ i )xiλ→ 0 i=1n

b

b

( k为常数).

= lim k∑ f (ξ i )xi= k lim∑ f (ξ i )xiλ→0i=1

n

n

λ→ 0 i=1

= k∫a f ( x )dx .b

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性质3b

假设a< c< bc b

∫a f ( x )dx=∫a f ( x )dx+∫c例若 a< b< c,

f ( x )dx .

补充:不论 a, b, c的相对位置如何,上式总成立.

∫a f ( x )dx=∫a f ( x )dx+∫b f ( x )dxb c

c

则

∫a f ( x )dx=∫a f ( x )dx∫b f ( x )dxb

c

c

=∫a f ( x )dx+∫c f ( x )dx .c b

(定积分对于积分区间具有可加性)首页上页返回下页结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质4

∫a 1 dx=∫ab a

b

b

dx= b a .

性质5如果在区间[a, b]上 f ( x )≥ 0,则∫ f ( x )dx≥ 0 .

(a< b)

证

∵ f ( x )≥ 0,∴ f (ξ i )≥ 0, ( i= 1,2,

, n)

∵ xi≥ 0,n

∴

λ= max{x1, x2,, xn}b

∑ f (ξ i ) x i≥ 0, i=1

n

∴ lim∑ f (ξ i )xi=∫ f ( x )dx≥ 0. aλ→0i=1

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例 1比较积分值∫0 e dx和∫0 xdx的大小.x

2

2

解

令 f ( x )= e x,x

x∈[2, 0]

∵ f ( x )> 0,

∴0

∫2 (e0

x

x )dx> 0,

∴

∫ 2 e

0

x

dx>∫ 2xdx, e dx<∫0 xdx .x2

于是

∫0

2

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性质5的推论: (1)如果在区间[a, b]上 f ( x )≤ g ( x ),则∫a f ( x )dx≤b

∫a g ( x )dx .

b

(a< b)

证

∵ f ( x )≤ g ( x ),

∴ g ( x ) f ( x )≥ 0,

∴

∫a[ g( x ) f ( x )]dx≥ 0, b b∫a g( x )dx∫a f ( x )dx≥ 0,b

于是

∫a f ( x )dx≤∫a g( x )dx .上页返回下页结束

b

b

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性质5的推论: (2)证

∫a f ( x )dx≤∫ab

b

b

f ( x )dx . (a< b )

∵ f ( x)≤ f ( x)≤ f ( x),

∴∫a f ( x )dx≤∫a f ( x )dx≤∫a f ( x )dx,b b

即∫ f ( x )dx≤a

b

∫a

b

f ( x )dx .

说明:| f ( x )|在区间[a, b]上的可积性是显然的.首页上页返回下页结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质6

设 M及 m分别是函数

f ( x )在区间[a, b]上的最大值及最小值,则 m ( b a )≤∫a f ( x )dx≤ M ( b a ) .b

证

∵ m≤ f ( x)≤ M,

∴

∫a mdx≤∫a f ( x )dx≤∫a Mdx,b b b b

m (b a )≤∫a f ( x )dx≤ M (b a ).(

此性质可用于估计积分值的大致范围)首页上页返回下页结束

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例 2估计积分∫

π

0

1 dx的值. 3 3+ sin x

解

1 f ( x)=, 3 3+ sin x

x∈[0,π],

0≤ sin x≤ 1,3

1 1 1≤≤, 3 4 3+ sin x 3

∫0

π

ππ1 1 1 dx≤∫ dx≤∫ dx, 3 0 3+ sin x 0 3 4

π 1ππ∴≤∫ dx≤ . 3 4 0 3+ sin x 3

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例 3估计积分∫

π 2π 4

sin x dx的值. x

解

sin x f ( x)=, x

ππ x∈[,] 4 2

x cos x sin x cos x ( x tan x ) f′( x )==< 0, 2 2 x xππ f ( x )在[,]上单调下降, 4 2ππ故 x=为极大点, x=为极小点, 4 2首页上页返回下页结束

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π 2 2 M= f( )=, 4π

π 2 m= f( )=, 2π

πππ∵ ba==, 2 4 4π 2π sin x 2 2π 2∴≤∫π dx≤,π 4 4 xπ 4π 1 sin x 2 2∴≤∫π dx≤ . 2 4 x 2

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性质7(定积分中值定理)如果函数 f ( x )在闭区间[a, b]上连续,则在积分区间[a, b]上至少存在一个点ξ,

使∫a f ( x )dx= f (ξ )(b a ) .

b

(a≤ξ≤ b )

积分中值公式

证

∵ m (b a )≤∫a f ( x )dx≤ M (b a )

b

1 b∴ m≤∫a f ( x )dx≤ M ba由闭区间上连续函数的介值定理知首页上页返回下页结束

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在区间[a, b]上至少存在一个点ξ,

使即

1 b f (ξ )=∫a f ( x )dx, ba

f (ξ )(b a ) . (a≤ξ≤ b )积分中值公式的几何解释:

∫a f ( x )dx=

b

yf (ξ )

在区间[a, b]上至少存在一个点ξ,使得以区间[a, b]为底边,以曲线 y= f ( x )为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 f (ξ )的一个矩形的面积.返回下页结束

o首页

aξ上页

b x

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

例 4设 f ( x )可导,且 lim f ( x )= 1,x→+∞

求 lim

x→+∞ x

∫

x+2

3 t sin f ( t )dt . t

解由积分中值定理知有ξ∈[ x, x+ 2],

3 3使∫x t sin f ( t )dt=ξ sin f (ξ )( x+ 2 x ), tξ x+2 3 3 lim∫x t sin f ( t )dt= 2 limξ sin f (ξ )ξ→+∞ x→+∞ξ tx+2

= 2 lim 3 f (ξ )= 6.ξ→+∞首页上页返回下页结束

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