第三章 试验的方差分析

1第三章 试验的方差分析

3.1 基本术语1、指标：试验中需要考核的参数称为指标，如产品的产量，材料 的强度等。从数量上看，指标可以是单一指标，也可以是多指标； 从性质上指标可分为定性指标和定量指标。 2、因素：可能对指标产生影响的参数称为因素。因素分为可控因 素和不可控因素。试验设计讨论的因素一般是可控因素。

3、水平：因素的所处的状态或内容称为水平。水平可以是数量性的，如反应温度；也可是属性的，如催化剂种类，原材料产地等。 4、方差分析：方差分析是分析试验因素对指标影响是否显著的一 种方法。

3.2 单因素试验的方差分析

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3.2 单因素试验的方差分析3.2.1 一个具体的例子为了考察温度对某种产品收得率的影响，选取了五种不同的温 度，在同一温度下各作三次试验(单位：%) 试验次数 1 2 60℃ 90 92 65 ℃ 97 93 70℃ 96 96 75℃ 84 83 80 ℃ 84 86

3影响？

88

92

93

88

82

试问：在60-80℃范围内试验，温度对产品收得率有无显著

3.2 单因素试验的方差分析 首先，我们对表中的数据进行如下的计算：

3

试验次数1 2 3 组平均值 yi 总平均值 y

60℃90 92 88 90

65 ℃97 93 92 94

70℃96 96 93 95 89.6

75℃84 83 88 85

80 ℃84 86 82 84

可以看出，表中全部15个数据是参差不齐的，它们围绕总平均值 y

产生波动，这个波动是什么原因造成的呢？首先容易想到的是温度取了5个不同的水平，事实上5个水平下的数据平均值 y1 、2 、… y5 y 之间确实存在差异，它们围绕总平均值

y

产生波动。

3.2 单因素试验的方差分析

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另外，每个水平下的三个数据虽然其试验条件相同，但它们之间仍

然有差异，它们围绕组平均值 yi

产生波动，这个波动显然是由于原

材料、设备工具、操作方法、测试技术等微小变化的偶然因素造成。 我们将全部数据的总波动称为总离差平方和(或总变动平方和， 用SST表示),它可以分解成为两部分：因素变动平方和(或组间离

差平方和，用SSA表示),误差变动平方和(或组内离差平方和，用SSe表示)。

SST (90 89.6)2 (92 89.6)2 (82 89.6)2 353.6SS A 3 ( 90 89.6 )2 ( 94 89.6 )2 ( 84 89.6 )2 303.6

3.2 单因素试验的方差分析

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SSe=( 90 90 )2 ( 92 90 )2 ( 88 90 )2 ( 97 94 )2 ( 93 94 )2 ( 86 84 )2 ( 82 84 )2 50.0从上面的计算可以看出： T SSA SSe , SS 是一种必然呢？后面我们可以证明这是一种必然。 这是一种偶然还

SST、SSA、SSe 是若干项的平方和，其大小与参加求和的项数有关。为了消除参与求和项数的影响，我们定义自由度如

下： 总自由度：fT nm0 1 ,

nm0 试验总数据个数。

因素(组间)自由度： 因 n 1 ,n为因素的水平数。 f 误差(组内)自由度：f e n(m0 1) , m0试验重复数。

3.2 单因素试验的方差分析 显然，

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fT f因 f e

我们用上述离差平方和除以对应的自由度得到均方差：

V因 SS因 / f因 ， V因 称为组间均方差或因素平均变动。

Ve SSe / f e下的F函数：F因

, Ve 称为组内均方差或误差平均变动。

我们将因素平均变动和误差平均变动进行比较，为此构造如因素平均变动 V因 误差平均变动 Ve

F值的大小，可以来判断因素水平对指标的影响。F值接近1时， 说明因素水平的改变对指标的影响和试验误差的影响差不多，即水

平改变对指标的影响在误差范围内，也就是说因素水平间无显著差

3.2 单因素试验的方差分析

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F值越大，说明因素水平改变对指标的影响超过了试验误差造成的影响， 即条件误差相对试验误差大得多。现在问题的关键就是F值大到多少可 以认为试验结果的差异主要由因素水平的改变引起，小到多少可以认

为试验结果的差异主要由试验误差引起，这就需要一个标准，这个标准由F表查出F临界值。 见书P203-207附录4。在F表上，横行f1代表F值中分子的自由度，

竖行f2代表F值中分母的自由度，相交处的数值即为F临界值。查表时应该注意 的选取。检验结果如下：FA F0.01 ( f A , f e ) F0.05 ( f A , f e ) FA F0.01 ( f A , f e ) FA F0.05 ( f A , f e )

高度显著 显著 不显著

** *

3.2 单因素试验的方差分析

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3.2.2 单因素试验方差分析的一般步骤设因素A有n个水平，每个水平重复试验m0次，水平Ai的第j次试验 值为yij(i=1,2,…n;j=1,2,…m0),则可将数据以下表形式表达：

yiji

j

1 j m0y11 y1 j y1m0

Ti yi jj 1

m0

Ri yj 1

m0

2 ij

1 yij m0

yj 1

m0

ij

1 i n

yi1 yij yim0

yn1 ynj ynm0

T1 Ti Tn

R1 Ri

y1

yi

Rn

yny T /(nm0 )

i 1

n

T

R

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1、偏差平方和的分解： 根据定义有：

SST ( yij y ) 2i 1 j 1 n m0

n

m0

SSe ( yij yi ) 2i 1 j 1 n m0

SS因 ( yi y ) 2i 1 j 1

现证明n

SST SSe SS因m0 n m0 2 i 1 j 1

SST ( yij y ) ( yij yi yi y ) 2i 1 j 1

3.2 单因素试验的方差分析n m0 n m0 n

10m0

( yij yi ) 2 ( yi y ) 2 2 ( yij yi )( yi y )i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1

SSe SS因+2 ( yij yi )( yi y )i 1 j 1

n

m0

( yij yi )( yi y )i 1 j

1 n m0 m0 ( yi y )( yij yi ) i 1 j 1 j 1

n

m0

( yi y )(m0 yi m0 yi ) 0i 1

n

SST SSe SS因

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为了计算方便，对各偏差平方和进行简化推导，得到 各自的简化计算方法：

令

T2 P nm0n m0

,

1 n 2 Q ( Ti ) m0 i 1

,则

T2 2 SST yij R P nm0 i 1 j 11 n m0 T2 SS因 ( yij ) 2 Q P j 1 m0 i 1 nm0

1 n m0 2 SSe yij ( yij ) 2 R Q j 1 m0 i 1 i 1 j 1n

m0

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我们以上面的例子为例继续计算：

f T nm0 1 5 3 1 14

f A n 1 5 1 4f e fT f A 14 4 10 或

f e n(m0 1) 5 (3 1) 10SS A 303.6 VA 75.9 fA 4 SSe 50.0 Ve 5.0 fe 10

3.2 单因素试验的方差分析

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VA 75.9 FA 15.2 Ve 5.0

从F分布表中查取临界值

F0.05 (4,10) 3.48, F0.01 (4,10) 5.99因为 FA F0.01 (4,10) 5.99 所以因素A高度显著。

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如果每个水平上的试验次数mi(i=1,2,…n)不相同， 以N代表总的试验次数，则可用下列式子计算：T2 2 SST yij N i 1 j 1n mi

mi ( yij ) 2 n …… 此处隐藏：2750字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……