【北师大版教材】八年级初二数学上册《2.7 第3课时 二次根式的

第3课时二次根式的混合运算

1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重

点、难点)

一、情境导入

已知一个直角三角形的两条直角边长

分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三

角形的面积和周长．

二、合作探究

探究点一：二次根式的混合运算

计算：

(1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥

0)；

(2)(2

3

2

－

1

2

)×(

1

2

8＋

2

3

)；

(3)(32＋48)×(18－43)．

解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)

＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b

＋ab2－ab ab；

(2)原式＝(6－

2

2

)(2＋

6

3

)＝6

×2＋6×

6

3

－

2

2

×2－

2

2

×

6

3

＝

23＋2－1－

3

3

＝1＋

5

3

3；

(3)原式＝(32＋43)(32－43)＝

(32)2－(43)2＝18－48＝－30.

方法总结：二次根式的混合运算，一般

先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活

运用乘法公式等知识来简化计算．

探究点二：二次根式的化简求值

已知a＝

1

5－2

，b＝

1

5＋2

，求

a2＋b2＋2的值．

解析：先化简已知条件，再利用乘法公

式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代

入求解．

解：∵a＝

1

5－2

＝

5＋2

（5－2）（5＋2）

＝5＋2，b＝

1

5＋2

＝

5－2

（5＋2）（5－2）

＝5－2，∴a＋b

＝25，ab＝ 1.∴a2＋b2＋2＝

（a＋b）2－2ab＋2＝（25）2－2＋2

＝20＝2 5.

方法总结：解此类问题时，直接代入求

值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公

式变形代入即可求得．

探究点三：运用二次根式的运算解决实

际问题

教师节就要到了，李欣同学准备

做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以

表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，

另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把

贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，

请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈

1.414)

解析：可以通过两个正方形的面积分别

计算出正方形的边长，进一步求出两个正方

形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．

解：贺卡的周长为4×(288＋338)

＝4×(122＋132)＝4×252≈

141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，

150>141.4，∴李欣的彩带够用．

方法总结：本题是利用二次根式的加法

来解决实际生活中的问题，解答本题的关键

在于理解题意并列出算式．

三、板书设计

二次根式

??

?

??

综合运算

化简求值

实际应用

经历本节课的学习，进一步理解二次根

式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号

内含有字母的二次根式的化简，利用二次根

式的化简解决简单的数学问题．学生通过独

立思考，能选择合理的方法解决问题；在运

算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方

法．