2012高考真题分类汇编推理与证明

2012高考真题分类汇编：推理与证明

1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式：a b 1,a2 b2 3,a3 b3 4,a4 b4 7,a5 b5 11, 则a b A．28 B．76 C．123 D．199 【答案】C

【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。

【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即an an 1 an 2，所以可推出

10

10

a10 123，选C.

2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝

7

.动点P3

从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 【答案】B

【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.

3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，

所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d

的一个近似公式d 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是

11.d【答案】D 【解析】

B

．d C

．d D

．d .

4d3a6b6 9由V ()，得d 设选项中常数为,则 =；A中代入得 ==3.375，

32ba16

6 16 1576 11

B中代入得 ==3，C中代入得 ==3.14,D中代入得 ==3.142857，

230021

由于D中值最接近 的真实值，故选择D。

4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式

13 2221151 2 3 ，

233

11171 2 2 2

23441

照此规律，第五个不等式为 . ．．．

1111111

2 2 2 2 . 2

234566

1111111

【解析】通过观察易知第五个不等式为1 2 2 2 2 2 .

234566

【答案】1

5.【2012高考真题湖南理16】设N=2（n∈N，n≥2），将N个数x1,x2, ，xN依次放入编号为1,2， ，N的N个位置，得到排列P0=x1x2 xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前置，得到排列P1=x1x3 xN-1x2x4 xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段当2≤i≤n-2时，将Pi分成2段，每段

i

n*

NN

和后个位22

N

个数，并对每段作C变换，得到p2；2

N

个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，2i

此时x7位于P2中的第4个位置.

（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；

n

（2）当N=2（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）3 2【解析】（1）当N=16时,

n 4

11

P0 x1x2x3x4x5x6 x16,可设为(1,2,3,4,5,6, ,16),

P1 x1x3x5x7 x15x2x4x6 x16,即为(1,3,5,7,9, 2,4,6,8, ,16),

P2 x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6 x16,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6, ,16), x7位于P2中的第6个位置,；

（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第3 2

n 4

11个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.

6.【2012高考真题湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33， ，99．3位回文数有90个：101，111，121， ，191，202， ，999．则 （Ⅰ）4位回文数有 个；

（Ⅱ）2n 1(n N )位回文数有 【答案】90，9 10

【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有9 10 90种。 答案：90

（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为9 10.

法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22, 99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此7.【2012高考真题北京理20】（本小题共13分）

,则答案为9 10.

n

n

n

,而当奇数位时，可

【答案】解：（1）由题意可知r1 A 1.2，r2 A 1.2，c1 A 1.1，c2 A 0.7，c3 A 1.8

∴k A 0.7

（2）先用反证法证明k A ≤1：

若k A 1

则|c1 A | |a 1| a 1 1，∴a 0 同理可知b 0，∴a b 0 由题目所有数和为0 即a b c 1 ∴c 1 a b 1 与题目条件矛盾 ∴k A ≤1．

易知当a b 0时，k A 1存在 ∴k A 的最大值为1 （3）k A 的最大值为

2t 1

. t 22t 1

首先构造满足k(A) 的A {ai,j}(i 1,2,j 1,2,...,2t 1)：

t 2

a1,1 a1,2 ... a1,t 1,a1,t 1 a1,t 2 ... a1,2t 1

t 1

， t 2

a2,1 a2,2

t2 t 1

... a2,t ,a2,t 1 a2,t 2 ... a2,2t 1 1.

t(t 2)

经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

|r1(A)| |r2(A)|

2t 1

， t 2

t2 t 1t 12t 1

， |c1(A)| |c2(A)| ... |ct(A)| 1 1

t(t 2)t 2t 2

|ct 1(A)| |ct 2(A)| ... |c2t 1(A)| 1

下面证明

t 12t 1

. t 2t 2

2t 12t 1

是最大值. 若不然，则存在一个数表A S(2,2t 1)，使得k(A) x . t 2t 2

由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x,2]中. 由于x 1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x 1.

设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g h，则g t,h t 1. 另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t 1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x 1（即每个负数均不超过1 x）. 因此

|r1(A)| r1(A) t 1 (t 1)(1 x) 2t 1 (t 1)x x 2t 1 (t 2)x x，

故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾. 因此k A 的最大值为8.【2012高考真题湖北理】（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数f(x) rx xr (1 r)(x 0)，其中r为有理数，且0 r 1. 求f(x)的

2t 1

。 t 2

最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：

设a1 0,a2 0，b1,b2为正有理数. 若b1 b2 1，则a1b1a2b2 a1b1 a2b2； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. ．．．．．注：当 为正有理数时，有求导公式(x ) x 1.

【答案】（Ⅰ）f (x) r rxr 1 r(1 xr 1)，令f (x) …… 此处隐藏：3421字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……