数值计算与最优化复习3答案

答案

数值计算与最优化复习题

课程名称：数值计算与最优化；课程编码： 08582

一． 填空

（1）测量圆的直径，结果为10 0.1mm，则圆的面积为 7854.0 15.7 (结果保留5位有效数字)，圆的周长为 314.2 0. 3 (结果保留4位有效数字)。

（2）f(x)=x3,已知f(1)=1,f(1.2)=1.728,f(1.5)=3.375.则用线性插值计算f(1.3)= 2.09 (结果保留3位有效数字),用二次插值计算f(1.3)= 2.20 .(结果保留3位有效数字)。

（3）在[0，1]区间给出f(x)=e的等距节点函数表,步长h=0.02，按线性插值计算

f(x)的值。则计算结果的截断误差为 0.00005 (结果保留3

位有效数字)，如果需要结果具有6位有效数字，则步长h应该为0.002 (结果保留3位有效数字)。

sinx

dx f(x)dx，且定义f(0)=1。则用梯形公式的结果（4）计算积分I x00

1

1

-x

为： 0.921 (结果保留3位有效数字)，用Simpson公式结果为 0.946(结果保留3位有效数字)。

（5）Newton迭代法求非线性方程x2 3的根,则迭代格式为_xn+1=(xn2+3)/(2xn)_________,并且具有 2 阶收敛。

（6）解n阶线性方程组的Gauss消去法，消去过程需要 n(n+1)(2n+1)/6 次乘除法，回带过程需要 n(n-1)/2 次乘除法。 （7）则x1 xx (3,0, 4,12)T，

2

答案

x

。

(8)如果矩阵A的特征值分别为（1，4，3），则（A+2I）-1的特征值分别为 (1/3,1/6,1/5) 。

(9)在解线性方程组的迭代法中，迭代格式X=MX+F收敛的条件为 p(m)<1 。

(10)数值方法解常微分方程的梯形公式的局部截断误差为 O(h3) ，整体误差为 O(h2) 。（计算步长为h，给出误差的阶）

(11) 线性规划问题的自由变量xi，可用变换 xi=ui1-ui2 消去。不等式约束 aijxj bi，可引入 松弛变量yi≥0 ，得到等号约

j 1n

束 aijxj yi bi 。

j 1

n

（12）MATLAB的变量可以用来储存_____ 数组 ___和___矩阵 ____。

二． 判断

（1） 如果系数矩阵是严格对角占优的，则解线性方程组的Jacobi迭代一定是收

的。 （ √ ）

（2） 线性规划问题的所有可行解的集合是凸集 （ √ ） （3） 将求

近似值的Simpson公式进行龙贝格加速，则得到n=4的牛顿一

柯特的求积公式。 （ √ ）

（4） 对于N阶的Newton—Cotes求积公式，当N为奇数时，其代数精度可以达到

N+1。 （ⅹ ）

三． 计算题

（1） 设方程12 3x 2cosx 0，说明方程有惟一根。试用适当的迭代法

求该方程的实根（精确至3位有效数），写出求方程的根的近似值的全部过程。

解：令f(x)=12-3x+2cosx , f’(x)=-3-2sinx≠0，故有唯一根。

答案

迭代公式：xn+1=arcos(1.5xn-1)或xn+1=4+2/3cosxn

1aa

，求解方程组AX=B，证明 a1a（2） 设A

aa1

当

111

a 1时G-S法收敛，而J法只对 a 收敛 222

解：对于Jacobi迭代：xk+1=Bxk+F

0 a aB=I-D-1A= a0 a

a a0λI-B=(λ-a)( λ2+aλ-2a2)=0 要使迭代收敛，|λi|<1 ,-1/2<a<1/2 对于G-S迭代：x(k+1)=(I-L)-1Ux(k)+(I-L)-1F

0 a

(I-L)-1U=0a2

0 a3 a2 a

a2 a a3 2a2

λI-(I-L)-1U=λ(λ-a2)( λ-2a2+a3)=0 要使迭代收敛，|λi|<1 -1/2<a<1

I

3

1

（3） 用下列方法计算积分

1． 三点的Gauss-Legendre求积公式

1x(10分)

解：

I

3

1

1x=

1 15

1

dt = A1F(X1)+A2F(X2)+A3F(X3) )+8/9ⅹ1/(2+0)+5/9ⅹ1/(2+

5

=5/9ⅹ1/(2-

)=1.1

2． 八点的复合梯形公式

解：h=(3-1)/8=1/4

答案

I

3

1

1x=h/2(f1+2f2+2f3+2f4+2f5+2f6+2f7+2f8+f9)

=1/8(1+8/5+8/6+8/7+8/8+8/9+8/10+8/11+4/12)=1.1025 （4） 用四阶Rung-Kutta数值方法解如下的常微分方程：

y’=3y/(1+x)，初值为y（0）=1。步长选为0.2，计算[0，1]区间的数值解。

解：f(x,y)=3y/(1+x) y(0)=1 h=0.2

K1=f(x0,y0)=3/(1+0)=3 K2=f(x0+h/2,y0+hk1/2) =f(0.1,1.3)=3*1.3/1.1=3.54545 K3=f(x0+h/2,y0+hk2/2)

=f(0.1,1.354545)=3*1.354545/1.1=3.6942 K4=f(x0+h,y0+hk3)

=f(0.2,0.73884)=3*0.73884/1.2=1.8471 Y1=y0+(k1+2k2+2k3+k4)h/6=1.6442 Y2=y1+(k1+2k2+2k3+k4)h/6=2.2884 Y3=y2+(k1+2k2+2k3+k4)h/6=2.9326 Y4=y3+(k1+2k2+2k3+k4)h/6=3.5768 Y5=y4+(k1+2k2+2k3+k4)h/6=4.221

（5） 某商业集团公司在A1，A2，A3三地设有三个仓库，它们分别存40，

20，40个单位产品，而其零售店分布在地区Bi，i=1，┅，5，他们需要的产品数量分别是25，10，20，30，15个单位，产品从Ai到Bj的每单位装运费列于下表：

答案

试建立装运费最省调运方案的数学模型。 解：设从Ai运到Bj的数量为xij ， 则有： Min

55x11+30x12+40x13+50x14+40x15+35x21+30x22+100x23+45x24+60x25+40x31+60x32+95x33+35x34+30x35 X11+x12+x13+x14+x15=40 X21+x22+x23+x24+x25=20 X31+x32+x33+x34+x35=40 s.t. x11+x21+x31=25 x12+x22+x32=10 x13+x23+x33=20 x14+x24+x34=30 x15+x25+x35=15

xij≥0 , i=1,2,3 , j=1,2,3,4,5

（6） 已知某运动方程为xy ay (x b) 0，测得其运动轨迹如下表，

试确定常数a，b的值（保留3位有效数字）。

解：先用数值微分求出y’和y”,然后对运动方程进行线性拟合,求a和b

"'

=yk 12 hyk 1 ykyk

yk 1 yk 1 2yk

h2

x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

答案

y 1.9611 2.0589 2.1574 2.2564 2.3556 2.4545 y’ 0.4907 0.4938 0.4955 0.4952 y” 0.0175 0.0125 0.0050 -0.0075 令X=y’ Y=xy”+x, 拟合方程为：Y=b-aX

（7） 计算球体的体积要是相对误差限为1%，问度量直径D是的允许相

对误差是多少？

解：f(D)=4/3*pi*(D/2)^3

d(ln(f(D))=f’(D)/f(D)dD=Df’(D)/f(D)dlnD=3lnD=1% lnD=0.33%

（8） 如下表，用Newton插值法求得sin0.3367的值，并估计误差限。并

解：n=2 x0=0.32 x1=0.34 x2=0.36 F(x0,x1)=1.01515 f(x1,x2)=0.8702

F(x0,x1,x2)=(f(x0,x1)-f(x1,x2))/(x0-x2)=-3.37375 N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1) =0.314567+1.01515*(x-0.32)-3.37375*(x-0.32)*(x-0.34)

Sin0.3367=0.314567+1.01515*( …… 此处隐藏：2338字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……