西安交通大学计算方法A2012考试题

交大考试题

一、填空（每空2分，共26分）

1. 圆周率 =3.1415926…的近似数 1 3.1416准确到位小数； 2. 给定向量x (2,3, 4)T，则x1x2

1 2 3. 矩阵A 的条件数cond1(A); 34

4. 设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x为互异节点的三次Lagrange插值基函数，则3

lj(x)(xj 2)3 3

j 0

5. 若f(x) 2x6 3x5 x3 1，则其六阶差商f 30,31,32,...36

6. 数值积分公式中的simpson公式的代数精度为；

63 x1 0 7. 给定x(0) (0,0)T，用共轭梯度法求解线性方程组 可得x(1)； ， 32x 1 2

x(2)

8. 解初值问题y(x) f(x)近似解的梯形公式是yk 1 y(0) y0

1 9. 已知线性方程组Ax b，其中A 0

1 0012120400 3 2 1 b ，作矩阵A的杜立特尔（Doolittle） 10 ，3 3 4

分解A=LU，并利用其解方程组Ax b，则L= ，U= ,x= ;

二、（7分）已知函数y f(x)的函数值、导数值如下：

求满足条件的Hermite插值多项式及截断误差表示式

三、（7分）求函数y ex在区间 1,2 上的最优平方逼近一次式。

四、（8 2x2 x3 1分）对线性方程组Ax b； 3x1 2x3 5

2x1 x2 2x

（1） 请写出雅克比（Jacobi）迭代法的迭代格式，并证明迭代格式收敛还是发散；

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（2） 请写出高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法的迭代格式，并证明迭代格式收

敛还是发散。

五、（8分）设方程式3 3x 2sinx 0，

（1） 证明方程在 0,1 内存在唯一解；

（2） 若采用如下迭代公式xn 1 1 sinxn，判定迭代是否收敛。

六、（5 210 分）用反幂法求矩阵A 131 ， 014 23

在 1附近的特征值及其对应的特征向量，选取初始向量为 1,1,1 T进行迭代，给出迭代一次的结果。

七、（8分）给定差微分方程初值问题y(x) x y 1,0 x 1，取h=0.1. y(0) 1

(1) 用欧拉法求y(x)在x=0.2的近似值；

(2) 利用标准的四级四阶龙格-库塔法求y(x)在x=0.1的近似值。

八、（7分）设f(x) C2 a,b ,记

2I f 0f(x)dx，Q f Af(x0) f(x1)

（1） 求参数A,x0,x1，使求积公式I f Q f 具有尽可能高的代数精度；

（2） 并给出数值积分公式截断误差表示式。

九、 （4分）设有线性方程组Ax b，其中A是n阶对称正定矩阵且

时，由迭代格式（法）：

x(k 1) x(k) x(k 1) x(k) A b 产生的迭代序列收敛于方程组的唯一解。 2 2证明当 0A 1，