1.5.1求曲边梯形的面积

学案11 §1.4

曲边梯形的面积

一、知识目标

1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤：

分割、近似代替、求和、求极限；

2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景． 二、知识链接

1、直边图形的面积公式：三角形 2、匀速直线运动的时间（t）、速度（v）与路程（S）的关系 ． 三、自主探究索

1、概念：如图，由直线x=a , x= b , x轴，曲线y=f (x)所围成的 图形称为 ．

2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是 什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？

四、例题精析

2

例１、求由抛物线y=x与x轴及x=1所围成的平面图形的面积S． 【分析】：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是 线段。我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题． 解：（1）分割（化整为零） 将区间 0,1 等分成n个小区间 0,

1 12

，, ， 则第i个小 n nn

区间为 （i=1，2， ，n），第n个小区间为 ， 每个区间的长度为 x= = ，过各个区间端点作

x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1, S2, Sn．显然，S= ．

（2）近似代替 （以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形） 对区间

i 1i

, 上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值 nn

i 1

以 x= 为邻边的长的小矩形f 为一边的长，

n

的面积近似代替小曲边梯形的面积，即 Si f(（3）求和（积零为整，给出“整”的近似值）

i 1n

) x （i=1，2， ，n）．

因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积之和就是所求曲

n

边三角形面积S的近似值：S S1 S2 Sn Si

i 1

＝＝

（4）取极限

当分割无限变细时，即 x无限趋近于0（n趋向于 ）Sn

16(1

1n)(2

1n

)趋向于，

从而有S= = = ．

【变式拓展】：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x所围成的曲边梯形的面积．

五、日日清

1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) A．y x2 B．y |x| C．y

x D．y

2

1x

2．把区间[1,3]n等分,所得n个小区间,每个小区间的长度为( ) A．

1n

B．

2n

C．

3n

D．

12n

3．把区间[a,b](a b)n等分后,第i个小区间是( )

i 1ii 1i

,](b a),(b a)]B． [nn nn i 1ii 1i

,a ](b a),a (b a)] C．[a D．[a nn nn

A．[

4．在“近似替代”中，函数f(x)在区间[xi,xi 1]上的近似值（ ）

A．只能是左端点的函数值f(xi) B．只能是右端点的函数值f(xi 1) C．可以是该区间内的任一函数值f i ( i [xi,xi 1]） D．以上答案均正确

5．汽车以v v(t)(函数v v(t)在(0, )上为连续函数)在笔直的公路上行使,在[0,2]内经过的路程为S,下列说法中正确的是____________．

(1)将[0,2]n等分,若以每个小区间左端点的速度近似替代,求得的Sn是S的不足近似值(Sn S); (2)将[0,2]n等分,若以每个小区间右端点的速度近似替代,求得的Sn是S的过剩近似值(Sn S); (3)将[0,2]n等分,当n很大时,求出的Sn就是S的准确值;

(4)S的准确值就是由直线t 0,t 2,v 0和曲线v v(t)所围成的图形的面积．

2t2(0 t 3)

6．一质点在作直线运动时,其速度v(t) 18(3 t 7)(单位:m/s),则此质点在区间

3t 39(7 t 13)

_______内作加速度越来越____的变加速运动; 在区间________内作速度为____匀速运动;在区间_ _____内作加速度大小为______的匀___速运动;这一质点在这13s内的运动路程为__________． 7． 求由直线x 1,x 3,y 0和抛物线y 3x所围成的图形的面积

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