高等数学分析4.5微分及其运算

初等数学之外的数学都是高等数学,也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为,高等数学是由微积分学,较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。

§5. 微分及其运算一、微分的定义

考虑边长为 x的正方形面积

x x

x 2

s x 2,x x, 则

s ( x x) 2 x 2 2 x x x 2 . s包含两部分：①

x x

2 x x是 x的线性函数；

x

x 2

②

x 2 o( x)( x 0)是 关 于 x的高阶 无穷小 .1

因此， s 2x x, 误差为 x2,当 x 愈小时，误差也愈小 .Hunan City University

初等数学之外的数学都是高等数学,也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为,高等数学是由微积分学,较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。

§5. 微分及其运算一般地，对于 y f ( x),x x,是否

y f ( x x) f ( x) A x o( x) ( x 0).

Def : 若y f ( x )在x的改变量 y与自变量 x的改变量 x有下列关系： y A x o( x)( x 0).

其中A是x的函数而与 x无关，则称 f ( x)在点x可微， A x称为f ( x)在x点的微分，记为 :

df ( x) A x

或

dy A x

A x又称 y的线性主要部分：(1) “线性”指 A x的一次函数；(2) “主要”指 y ~ A x( x 0).

即 dy是 y的线性主要部分 .Hunan City University

初等数学之外的数学都是高等数学,也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为,高等数学是由微积分学,较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。

§5. 微分及其运算

例如：上例中， ds 2 x x, s ds.圆 面 积 s r 2, s (r r ) 2 r 2 2 r r ( r ) 2 ,

s ds 2 r r( r 2 o( r ), r 0 ) .球体积 V 4 3

4 3 r , 34 3 4 3

V (r r ) 3 r 3 4 r 2 r 4 r ( r ) 2 ( r ) 3 , V dV 4 r 2 r( 4 r r 2 r 3 o( r ), r 0 ) .4 3

若f ( x)在x可微，即dy A x,则 A ?Hunan City University

初等数学之外的数学都是高等数学,也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为,高等数学是由微积分学,较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。

§5. 微分及其运算Th .

y f ( x)在x可微 y f ( x)在x可导 .证明：“ ”若f ( x)在x可微，即

y A x o( x),A与 x无关.于是

y o( x) A , x x

y 故 lim A,即 f ( x)在x可导且 A f ( x), x 0 x

从而 dy df ( x) f ( x) x.Hunan City University

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§5. 微分及其运算 y “ ” 若f ( x)在x可导，即 lim f ( x), x 0 x亦即 y f ( x) x o( x), x 0. 即 f ( x)在x可微，且 dy f ( x) x.

对一元函数而言，函数 的可微性与可导性等价 ，且 有关系式： dy f ( x) x.由微分定义， y x的微分 dy dx ( x) x x,

y f ( x)在x的 微 分 可 写 为 dy f ( x)dx. dy 从而 f ( x). 导数又称微商 dxHunan City University

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§5. 微分及其运算注：(1) 微分 dy既与x有关，也与 dx有关，

而x与dx是相互独的两个变量 .

( 2 )求微分实质上就是求 导数.

例：y x ( R)

解：dy ( x ) dx x 1dx d ( x ).相应于基本导数公式可 列出其微分公式 .Hunan City University

初等数学之外的数学都是高等数学,也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为,高等数学是由微积分学,较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。

§5. 微分及其运算二、微分的运算法则

微分是导数的另一种形式. 由导数的运算法则可相应

地得到如下的微分法则：

1. d[ f ( x) g ( x)] df ( x) dg( x).2. d[ f ( x) g ( x)] g ( x)df ( x) f ( x)dg( x).

d[cf ( x)] cdf ( x), c const.f ( x) g ( x)df ( x) f ( x)dg( x) 3. d [ ] , (g ( x) 0 ) . 2 g ( x) g ( x)Hunan City University

初等数学之外的数学都是高等数学,也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为,高等数学是由微积分学,较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。

§5. 微分及其运算y f (u),u g ( x). 4.复合函数的微分：设复合函数dy dy du 则由 f ( g ( x)) g ( x),有 dx du dx

dy f ( g ( x)) g ( x)dx.因 f ( g ( x)) f (u),g ( x)dx du,故有 dy f (u)du.与dy f ( x)dx相 比 较 ， 虽 x是 自 变 量 ， 而 u是 中 间 变 量 ， 但 两 者 在 形 式 上 完 全样 一.

一阶微分的形式不变性

注：按一阶微分的形式不变性，符号

dy 即可看作对x求导， dx 也可看作 dy与dx之比 . 从而法则 (1) ~ (3)中的 x是自变量与否都成立 .Hunan City University

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