微分在近似计算中的应用

微分在近似计算中的应用主要有三方面的内容：计算函数增量的近似值;计算函数值的近似值;误差估计。

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微分在近似计算中的应用江霞平

(连云港市工贸高等职业技术学校江苏连云港 2 2 0 ) 2 0 0计计误 摘要：分在近似计算中的应用主要有三方面的内容：算函数增量的近似值；算函数值的近似值；差估计。徽 关键词：分近似计算微文章编号： 7 -3 9 ( 0 o o () 2 6 I 1 2 7 l 2 1 )2 c一0 2—0 6中图分类号： 4 0 G 2文献标识码： A

1计算函数增量的近似值

3误差估计由于测量仪器的精度，量的条件和测量的方法等各种因素测的影响，得的数据往往带有误差，根据带有误差的数据计算所测而

若，在点x处的= ( ) o导数，() 0且 I 1 ≠, A很小时， x

1

。 f(‘。= A x

例1半径l厘米的金属圆片加热后，半径伸长了 OO厘米，面积 O .5问

得的结果也会有误差，们把它叫做间接测量误差。我

增大了多少？ 解：设= r,= 0 , 1厘米， A= .厘米. r 05 0 △ d≈ A=2 r A 2 1 X .=31 (米) - r=× 0 0 5 .厘 0 4 .例 2:设有边长为 1的立方体，其表面要涂上一层厚为 00 c .lm。 . .

定义：如果某个量的精确值为， 它的近似值为a, I— l 0 a A叫做 a的绝对误差。 l一 l J

的贵重金属，贵重金属的比重为 1g c 试估计一下需多少克该 0/m。金属？ 解：立方体的体积为 V,计算当边长， l设要由 m=10 m增加 0c到 100c 0 .lm时，积增量是多少，为 A体因 I=0O c很小，以可 .lm所

而绝对误差与的比值—叫做 a的相对误差 ~ 1l a 。 问题：实际工作中，对误差与相对误差如何求得？在绝 方法：将误差确定在某一个范围内。 如果某个量的精确值 A是，得它的近似值为 a,知道它的测又

误差不超过， l a即 A— l, 则 8叫做测量的绝， A对误差限而叫做测量 A的相对误差限 .

以用

代替 A,计算 V而

比计算 A V简捷些 .为此要找出 V与，

的关系，知 V:,易

dV:3/ 1d

通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.例5设测得圆钢截而的直径 D=6 . m测量 D自对误差限 0 3 m, 0说 0 5￣ - .nn 0

当， O c,/ I .1m时，:lO m d:A=00cd V=3 (O )x .1 0 m x 10 OO=3 0c

其重量为 1 x 0 O 3 0=3 0 g. 00

利用公式 A= D,算圆钢的截面面积时，估计面积的误差. 计试 解：们把测量 J时所产生的误差当作 D的增量 A,利我 D D则用公式 A D计算 A时所产生的误差就是函数 A的对应增量=

2计算函数的近似值1求 (x在点 x= O . f) X附近的近似值

A y=f X+6 ) f(o≈f(o‘ . (o x一 X) ) x

△当l l . A很小时， D可以利用d A近似的代替增量 ,即△= A,△= D . . D AD 2

即.(+ () _ ) . I、日 fx△) x+ (很 ) o f。厂 1 ( 例3计算 s 。0 i3 3似值 . n 0的近解： f x=s x .f ) O X为弧度)设 () i, (=CS, n . .

由于D的绝对误差限= .r I I 0 5m. D 0a A

=., 05 0

xo=

詈A ,= . x// z"7 7 t/ 1、"" 压

,) .3'(= . 0=6 (孚'￣ s+詈 . 3i s 0n i n006 7。 5

FIII詈 l D, A = DI △ D因此得出』绝对误差限为 4的D.:

:一" 7/2

m托∞丽 亏’ ’2求 r在点 X . ()=0附近的近似

× 00 x .5 .1 ( 6 .3 O0≈47 5mm; )

2

A的相对误差限约为D:

令 x:0A . o,x= .

fx+ x ( ) f() v. ( f 0+ )。 (△) x+ ‘ x ()厂(’ o f o A . ) f 0、 时)

A

譬D: D: 60 3￣_ . 2 2 0 0% 1 7 4

常用近似公式 (

本文主要通过微分的概念，结出微分的三种应用，总为解决实际问题提供有力的帮助。

(√+ I二； 1 l≈十 )

()i (为弧度 ) 2s≈ n

;

( t 3a )n

(为弧度) ()+ ()n1 )。 ; 4 P≈1; 5 l(+≈X

参考文献

[华证：设：,(去+ _),o 1[】数学分析高第二版 )M]【东师范大学数学系明( )厂) ( ),= 。【】盛祥耀 .(等数学辅导. . 1 ) =1,0 ( 2 ( f) 1 M】.

1

。

.

.

f x, O+-( () ()厂 O

l

_

例4计算下列各数的近似值：( 9 85 1 9 .; ) () 4 2 e2 .

解( . 1 ):

:1—5io一 )￣01=o( —0./0 0- 1 1.

13 - . 1 1 1j。 0 5 .9 . 0— 0 5。一× 0 l):99 5￣ 0— 0 ( 11 .3=09 .—00 .7

() 2e

26 2

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