西南交大峨眉数学实验基础实验三_高等数学_2(2)

实验三：用MATLAB求解高等数学问题-2

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一、实验名称：用MATLAB求解高等数学基本计算问题-2

二、实验目的：

1．学会利用MATLAB求解有关非线性方程（组）符号解问题；

2．学会利用MATLAB求解有关非线性方程（组）数值解问题；

3. 学会利用MATLAB求解梯度向量并画图；

4. 学会利用MATLAB求解数值积分问题；

5. 学会利用MATLAB解决微分方程（组）符号求解问题；

6. 学会利用MATLAB解决微分方程（组）数值求解问题。

三、实验准备：

复习高等数学中相关主题的理论知识和方法。

四、实验内容

1．求下列方程的精确解（符号解）；

（1）x 5x 3x 6 0； （2）x x a 0.

2．求方程x 2在限值条件( 2 x 2)下的根；

3．画出下面两个椭圆的图形，并求出它们所有的交点坐标； 4x3242

(x 2)2 (y 2x 3)2 5 2218(x 3) y 36

4．作图表示函数z xe x2 y2( 1 x 1,0 y 2)沿x轴方向的梯度；

225．求函数f(x,y,z) x 2y 3z在平面x y z 1与柱面x y 1的交线上的最大值；

6．用梯形求积公式和辛普森（抛物线）公式计算积分

并估计误差。

&7．若用复化梯形求积公式求10e xdx 1

0e xdx的近似值，问要将积分区间[0,1]分成多少等份才能保证计算结果

有四位有效数字？若用复化抛物线求积公式呢？

提示：（1）复化梯形公式，把区间[a,b]等分为n等分，节点xk a kh，

k 0,1,n 1b ah,n，h ，则积分I [f(a) f(b) 2 (a kh)]； n2k 1

（2）复化抛物线公式，把区间[a,b]等分为2m等分，h b a， 2m

mm 1 h 则积分I f(a) f(b) 4 [a (2k 1)h] 2 (a 2kh) ． 3 k 1k 1

8．求解下列微分方程的解：

（1）y 4y 13y 0,yx 0 0,y x 0 6；

（2）y y 2y (1 2x)ex.

9．解下列微分方程：

（1）x 2x 3y,y 2x y,x(0) 2,y(0) 2.8,0 t 10，作相平面图；

提示：相平面图就是x,y画在一个平面内，即横轴为x，纵轴为y.

（2）y 0.01(y )2 2y sint,y(0) 0,y (0) 1,0 t 5，作y的图。

10．已知阿波罗飞船的运动轨迹(x,y)满足下面的方程：

d2xdy (x ) (x ) 2 x 23dtdtrr23 1

2 dy 2dx y y y 2 dtr13r23 dt

其中， 1/82.45, 1 ,r1 r2

x(0) 1.2,x (0) 0,y(0) 0,y (0) 1.04935371,0 t 100下求解，并绘制飞船轨迹图。

五、程序及实验结果

1. （1）程序：

syms x

f=sym('x^3-5*x^2+3*x+6=0');

y=solve(f,x)

输出结果：

y =

2

3/2 - 21^(1/2)/2

21^(1/2)/2 + 3/2

（2）程序：

syms x a

f=sym('x^4+x^2-a');

y=solve(f,x)

输出结果：

y =

(- (4*a + 1)^(1/2)/2 - 1/2)^(1/2)

((4*a + 1)^(1/2)/2 - 1/2)^(1/2)

-(- (4*a + 1)^(1/2)/2 - 1/2)^(1/2)

-((4*a + 1)^(1/2)/2 - 1/2)^(1/2)

2. 程序：

x=fzero('x^4-2^x',-2,2)

输出结果：

x =-0.8613

3. 程序：ezplot('(x-2)^2+(y+2*x-3)^2-5'),hold on,ezplot('18*(x-3)^2+y^2-36')

[x,y]=solve('(x-2)^2+(y+2*x-3)^2-5','18*(x-3)^2+y^2-36')

[x,y]

输出结果：

ans =

[ 1.6580664770347998069049390497594, 1.8936365963298548025994430021814]

[ 1.7362259004399598338121197151769, -2.6929074352940121705044040780427]

[ 4.0287335406907803557776183983678, -4.1171266000258712039597783906018]

[ 3.4828821781145475308576204296936, -5.639401248099686964240293356294]

4. 程序：a=-1:0.1:1;b=0:0.2:2;

[x,y]=meshgrid(a,b);

z=x.*exp(-x.^2-y.^2);

[px,py]=gradient(z,0.1,0.2);

contour(x,y,z),hold on

quiver(x,y,px,py),hold off

输出结果：

5. 程序：

syms x y z

[y,z]=solve('x-y+z-1','x^2+y^2-1','y','z')

[x,f]=fminbnd('-(x+2*((1 - x^2)^(1/2))+3*((1 - x^2)^(1/2) - x + 1))',0,2*pi)

输出结果：

x = 5.9565e-005

f = -7.9999

6. 程序：

I1=1/2*(1+exp(-1))

I2=1/6*(1+4*exp(-1/2)+exp(-1))

输出结果：

I1 = 0.6839

I2 = 0.6323

7. 程序：

输出结果：

8. （1）程序：

y=dsolve('D2y-4*Dy+13*y=0','y(0)=0','Dy(0)=6','x')

simplify(y)

输出结果：

y =2*sin(3*x)*exp(2*x)

ans =2*sin(3*x)*exp(2*x)

（2）程序：

y=dsolve('D2y-4*Dy-2*y=(1-2*x)*exp(x)')

simplify(y)

输出结果：

y = C5*exp(t*(6^(1/2) + 2)) - exp(x)/2 + C6/exp(t*(6^(1/2) - 2)) + x*exp(x)

ans =C5*exp(t*(6^(1/2) + 2)) - exp(x)/2 + C6/exp(t*(6^(1/2) - 2)) + x*exp(x)

9. （1）程序：

s=dsolve('Dx=2*x+3*y','Dy=2*x+y','x(0)=-2','y(0)=2.8','t');

y=s.y,x=s.x

t=0:0.1:10;

y=62/25*exp(-t)+8/25*exp(4*t); x=-62/25*exp(-t)+12/25*exp(4*t);

plot(x,y)

输出结果：

（2）程序：

fun=inline('[y(2);0.01*y(2)^2-2*y(1)+sin(t)]','t','y');ode45(fun,[0,5],[0,1])

输出结果：

10. 程序： 输出结果：