概率论第二章随机变量及其分布小结

第二章 随机变量及其分布小结随机变量X=X(e)是定义在样本空间S={e}上的 实值单值函数。也就是说，它是随机试验结果的 函数。它的取值随试验的结果而定，是不能预先 确定的，因此它的取值有一定的概率。随机变量 的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为 随机变量所表征的随即现象的研究。

一个随机变量，如果它所有可能取值是有限 个或可列无穷多个，则称其为离散型随机变 量，不是这种情况的则称为非离散型。不论 是离散型还是非离散型的随机变量X,都可 以借助分布函数F ( x) P{X x},

x

来描述。

若已知随机变量X的分布函数，就能知道X落在 任意区间 ( x1 , x2 ]上的概率：

P{x1 X x2 } F ( x1 ) F ( x2 ).

这样，分布函数就完整 的描述了随机变量 取值的统计规律性。

对于离散型随机变量，我们需要掌握的是它可能 取哪些值，以及它以怎样的概率取这些值，这就 是离散型随机变量取值的统计规律性。因而，对 于离散型随机变量，用分布律P{X xk } pk ,k 1,2,

或写成

X

pk

x1 x2 xk p1 p 2 p k

来描述它的取值的统计 规律性更为直观和 简洁。

分布律与分布函数有以下关系：F ( x) P{X x} xk x

P{X x }k

它们是一一对应的。分布律具有以下性质： 1 pk 0;2

pk 1

k

1.

分布函数的基本性质：1 2

F ( x)单调不减。0 F ( x) 1, 且 F ( ) lim F ( x) 0,x x

F ( ) lim F ( x) 1.

3

F ( x) F ( x 0),即F ( x)是右连续的。

设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负 函数f(x),使得对于任意x,有F ( x)

f ( x)dx,

x

则称X是连续型随机变量，其 中f ( x) 0称为X的概率密度。

连续型随机变量的分布 函数是连续的，连续型 随机变量 取任一指定实数值 a的概率为0,这两点性质是离散型 随+

机变量不具备的。同时 ，连续性随机变量的概 率密度有 性质 f ( x)dx 1.-

几种重要的离散型随机变量的分布

二项分布 X~b(n,p)k k P{X k} Cn p (1 p) n k

k 0,1,2, , n

(0-1)分布当n 1时，二项分布化为 P{X k} p k (1 p)1 k ,

k 0,1

泊松分布 X~ ( )P{ X k}

k e k!

,

k 0,1,2,

几何分布、超几何分布

几种重要的连续型随机变量的分布

均匀分布 X~U(a,b)

1 , a x b, f ( x) b a 0, 其它.

指数分布

1 x / e ,x 0 f ( x) 0, 其它.

2 ( , ) 正态分布 X~N

f ( x)

1 2

e

( x )2 2 2

,

x

标准正态分布 X~N(0,1)

( x)

1 2

e

t 2 / 2

,

其分布函数 ( x)

1 2

e

x

t 2 / 2

dt, 易知 ( x) 1 ( x).

随机变量X的函数Y=g(X)也是一个随机变量， 要掌握如何由已知的X的分布(分布律或概率 密度)去求得Y的分布(分布律或概率密度).