河南省郑州市2014届高中高三年级第一次质量预测理科数学试题 扫

2014年高中毕业年级第一次质量预测

数学（理科） 参考答案

一、选择题

ADACB DBCBB AB

二、填空题

13.[ 1,3)； 14.5； 15. 8 ； 16.a

三、解答题

17．解：(1) 因为AD AC，所以sin BAC sin(1. 2 BAD) cos BAD,

2

即cos BAD …………………………….2分 在 ABD中，由余弦定理可知BD2 AB2 AD2 2AB AD cos BAD，

即AD2 8AD 15 0，

解之得AD 5或AD 3. ……………………………………………….6分

由于AB AD，所以AD 3.…………………………………………………..7分

(2) 在 ABD中，由正弦定理可知BDAB，

sin BADsin ADB

又由cos BAD 1可知sin BAD ，

3

ABsin BAD, BD所以sin ADB

因为 ADB DAC C

2 C,

所以cosC .……………………………………………………..12分 18．解：随机猜对问题A的概率P1 11，随机猜对问题B的概率P2 ．………… 2分 34

⑴设参与者先回答问题A，且恰好获得奖金a元为事件M,

131 则P(M) P(1 P) , 12344

1即参与者先回答问题A，其恰好获得奖金a元的概率为. ………………4分 4

⑵参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

①先回答问题A，再回答问题B．参与者获奖金额 可取0,a,a b，

则P 0 1 P1 211，P a P，1 P P a b PP . 12123412 ②先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额 ，可取0,b,a b，

311，P b P2 1 P， P a b PP . 1214612

311abE 0 b a b .………… 10分 4612124

3a 2bE E .12 a2于是，当 ，时E E ，即先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大； b3

a2a2当 ，时E E ，两种顺序获奖的期望值相等；当 ，时E E ，先回答问题b3b3则P 0 1 P2

B，再回答问题A，获奖的期望值较大.…………………………12分

19.解：(1)

证明：由题意tan ABD ADAB, tan AB1B ABBB1 注意到0 ABD, AB1B

2,所以 ABD AB1B,

所以 ABD BAB1 AB1B BAB1

2,

所以AB1 BD, ……………………3分

又CO 侧面ABB1A1， AB1 CO.

又BD与CO交于点O，所以AB1 面CBD,

又因为BC 面CBD,所以BC AB1.……………………………6分

(2)如图，分别以OD,OB1,OC所在的直线为x,y,z轴，

以O为原点，建立空间直角坐标系O xyz

则A(0,

，B(，

C

，B

1，D， A

又因为CC1 2AD，所以C1 …………8分

所以AB (，AC ，DC1 设平面ABC的法向量为n (x,y,z)，

则根据AB n 0,AC n 0可得n 是平面ABC的一个法向量,

|DC1 n|

设直线C1D与平面ABC所成角为 ，则sin ………………12分 |DC1||n|

20.⑴解：由题知|CA| |CB| |CP| |CQ| |AP| |BQ| 2|CP| |AB| 4 |AB|, 所以曲线M是以A,B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），

x2y2

设曲线M：2 2 1(a b 0,y 0)， ab

则a2 4,b2 a2 (|AB|2) 3， 2

x2y2

所以曲线M： 1(y 0)为所求.---------------4分 43

⑵解：注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B(1,0)，

设lBC:x my 1,C(x1,y1),D(x2,y2)，

x my 1, 由 2 23x 4y 12,

消x得(3m 4)y 6my 9

0，所以y1,2 ， 22

6m y y ,2 13m2 4所以 -------------------------------------8分

yy 9, 123m2 4

因为AC (my1 2,y1),AD (my2 2,y2),所以

AC AD (my1 2)(my2 2) y1y2 (m2 1)y1y2 2m(y1 y2) 4

9(m2 1)12m27 9m2

4 .3m2 43m2 43m2 4

注意到点A在以CD为直径的圆上,所以AC AD 0,

即m ,-----11分 所以直线BC

的方程3x 3

0或3x 3 0为所求.------12分

21.⑴解:注意到函数f(x)的定义域为(0, ),

所以f(x) g(x)恒成立

设h(x) lnx f(x)g(x)恒成立, xxk(x 1)(x 0), x

1kx k 则h (x) 2 , ------------2分 2xxx

当k 0时,h (x) 0对x 0恒成立,所以h(x)是(0, )上的增函数,

注意到h(1) 0,所以0 x 1时,h(x) 0不合题意.-------4分 当k 0时,若0 x k,h (x) 0;若x k,h (x) 0.

所以h(x)是(0,k)上的减函数,是(k, )上的增函数,

故只需h(x)min h(k) lnk k 1 0. --------6分 令u(x) lnx x 1(x 0), u (x) 11 x, 1 xx

当0 x 1时,u (x) 0; 当x 1时,u (x) 0.

所以u(x)是(0,1)上的增函数,是(1, )上的减函数.

故u(x) u(1) 0当且仅当x 1时等号成立.

所以当且仅当k 1时,h(x) 0成立,即k 1为所求. --------8分 ⑵解:由⑴知当k 0或k 1时,f(x) g(x),即h(x) 0仅有唯一解x 1,不合题意; 当0 k 1时, h(x)是(k, )上的增函数,对x 1,有h(x) h(1) 0，

所以f(x) g(x)没有大于1的根,不合题意. ---------8分

当k 1时,由f (x) g (x)解得x0 ek 1,若存在x1 kx0 kek 1, 则kek 1ln(kek 1) k(kek 1 1),即lnk 1 e1 k 0,

令v(x) lnx 1 e

x1 x11 xex ex, (x 1),v (x) e xxexx 令s(x) e ex,s (x) e e,当x 1时,总有s (x) 0,

所以s(x)是(1, )上的增函数,即s(x) e ex s(1) 0, 故v (x) 0,v(x)在(1, )上是增函数,

所以v(x) v(1) 0,即lnk 1 e1 k 0在(1, )无解.

综上可知,不存在满足条件的实数k. ----------------------12分

22.解：⑴ A,B,C,D四点共圆， x

EDC EBF，又 AEB为公共角，

∴ ECD∽ EAB, ∴

2DCECED . ABEAEBECEDECED111 DC ∴ . . . .

EAEBEBEA428 AB

∴DC . ……………………………………………………………… 6分 ABEFFB， FAFE

又 EFA BFE， FAE∽ FEB，

FEA EBF，

又 A,B,C,D四点共圆， EDC EBF， FEA EDC， EF//CD..…………………………………………………… 10分 ⑵ EF FA FB， 2

x2y2

1. 23.解：⑴C1:(x 2) (y 1) 1,C2:16922

曲线C1为圆心是( 2,1)，半径是1的圆．

曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．

……4分

s, x 4 （s为参数） ⑵曲线C2的左顶点为( 4,0)，则直线l

的参数方程为 y s, 将其代入曲线C

1整理可得：s 4 0，设A,B对应参数分别为s1,s2，

则s1 s2 s1s2 4. 2

所以|AB| |s1 s2| . ……………………………10分

24.解：⑴因为x 4 x a (x 4) (x a) a 4,

因为a 4,所以当且仅当a x 4时等号成立,故

a 4 3, a 1为所求.……………………4分

⑵不等式f(x) 3 x即不等式x 4 x a 3 x(a 4)，

①当x a时，原不等式可化为4 x a x 3 x,

即x a 1.

所以，当x a时，原不等式成立.

②当a x 4时，原不等式可化为4 x x a 3 x.

即x a 1.所以，当a x 4时，原不等式成立.

③当x 4时，原不等式可化为x 4 x a 3 x. …… 此处隐藏：1822字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……