误差理论与测量平差基础CH07

误差理论与测量平差基础第七章间接平差

第七章间接平差

误差理论与测量平差基础第七章间接平差

第七章间接平差1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

间接平差原理误差方程精度评定间接平差公式汇编和水准网平差示例间接平差特例—直接平差三角网坐标平差测边网坐标平差导线网间接平差 GPS网间接平差七参数坐标转换平差

误差理论与测量平差基础第七章间接平差

第七章间接平差水准网如图所示:

h1 P1 h7 P2 h3 h5 h6

A h2 P4 h4 P3

按条件平差列出误差方程。选P2高程平差值为参数，列出全部条件方程。选P1、P2和P3高程平差值为参数，列出全部条件方程。

误差理论与测量平差基础第七章间接平差

第七章间接平差

上式表明，当所选参数刚好等于必要观测数t,且参数之间相互独立时，附有参数的条件平差具有很简洁的条件方程。这种简洁的条件方程描述了各观测值的改正数与参数之间的关系，称这种关系为误差方程。以误差方程为基础可得到一种新的平差方法——间接平差。

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-1间接平差原理

7-1间接平差原理函数模型： = BX +d L或 V= B x l

= X0+ 其中，l= L (BX 0+ d),X x随机模型：平差的准则：2 2 1 D=σ0 Q=σ0 P

V T PV= min

已知观测值L和平差的数学模型，如何根据优化准则 (最小二乘 ),寻找合适的 x?

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-1间接平差原理

一、基础方程及其解由于： V= B x l根据最小二乘原理对 x求导即得 dV T PV dV dV T PV== V T PB= 0 d x dV d x转置即有 BT PV= 0 l= L (BX 0+ d)

V T PV= min

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-1间接平差原理

一、基础方程及其解上式中将V用 x表示，即得 BT PB x BT Pl= 0令NBB= BT PB,W= BT Pl,即得 NBB x W=0称为间接平差的法方程。由于NBB是满秩方阵，可得 1 x= NBB W= (BT PB) 1 BT Pl

根据误差方程求得改正数V,最后获得观测量L和参数X平差值。

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-1间接平差原理

二、按条件平差求平差值的计算步骤示例 1 x= NBB W

→

= X0+ X x, V= B x l

→

=L+V L

= BX + d,计算l= L (BX0+ d)列方程L计算NBB= BT PB,W= BT Pl,解方程NBB x W=0 = X0+ 计算X x,V= B x l =L+V计算L平差成果检核

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二、按条件平差求平差值的计算步骤示例计算步骤：1

按照问题具体情况，选择t个独立量X作为参数，获取其近似值X 0;将观测量的平差值表示为参数的函数，即观测方程(n),

列出误差方程(n);由系数矩阵B和自由项l组成法方程(t); ;解算法方程，求出改正数 x,计算参数平差值X 。由误差方程，计算改正数V,计算观测量平差值L

2

3 4 5

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-1间接平差原理

二、按条件平差求平差值的计算步骤示例例7-1在图中所示的水准网中，已知水准点A的高程为HA= 237.483m,为求B、C、D三点的高程，进行了水准测量，测得高差L和水准路线的长度S,其结果见表，试按间接平差求定B、C、D三点高程的平差值。水准路线i 1 2 3 4 5观测高差Li (m) 5.853 3.782 9.640 7.384 2.270B h1 A h2 h3

C

h5 D

h4

路线长度Si (km) 3.5 2.7 4.0 3.0 2.5

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-1间接平差原理

二、按条件平差求平差值的计算步骤示例例7-2在图中，A、B、C三点在一直线上，测出了AB、BC及AC的距离，得4个独立观测值： l1= 200.010m, l2= 300.050m, l3= 300.070m, l4= 500.090m若令100m量距的权为单位权，试按条件平差确定A、C之间各段距离的平差值l。l4 l1 l3 l2

A

B

C

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-1间接平差原理

练习题1在图中所示的闭合水准网中，A为已知点(HA= 10.000m),P1、P2为未知点，测得高差及路线长度为：h1= 1.352m, S1= 2km, h2= 0.531m, S2= 2km, h3= 0.826m, S3= 1km

h1 A h3试用间接平差法求各高差的平差值。

P1 h2 P2

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练习题2在三角形中，以不等精度测得α= 78 23 12β= 85 30 06γ= 16 06 32δ= 343 53 24

δPα= 1 Pβ= 2 Pγ= 1 Pδ= 1

γ

α

β

试用间接平差法求各内角的平差值。

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-2误差方程

7-2误差方程间接平差模型的建立,主要是误差方程的组成。所选取t个待估参数必须相互独立；所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出来。测方向三角网函数模型测角网函数模型测边网函数模型拟合模型坐标转换模型

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-2误差方程

一、测方向三角网函数模型在图中,观测j、k均为待定点,近 0, Y 0,两点似坐标为Xj0, Yj0和Xk k间的方向观测值为αjk。由反三角函数可得方程α jk= arctan0+ (Yk yk ) (Yj0+ yj )

X kαjk

0+ (Xk xk ) (Xj0+ xj ) j线性化后得到测方向坐标平差误差方程

δαjk=

0 sinαjk 0 Sjk

xj

0 cosαjk 0 Sjk

yj

0 sinαjk 0 Sjk

xk+

0 cosαjk 0 Sjk

yk

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-2误差方程

一、测方向三角网函数模型采用定向角的方向观测中，将定向角Zj作为待估参数，观测方程为 jk=α

j L jk Z则对应的测方向误差方程为 vjk=δαjk zj ljk

1 2 3 4

参数中除待定点坐标平差值之外，还有定向角平差值； j和k均为待定点时，坐标未知数系数数值相等、符号相反；同一边的正反方向方位角改正数相等，关系式一致；测向边中有已知点时，对应改正数系数取0即可。

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-2误差方程

一、测方向三角网函数模型例7-3图中A, B, C为已知坐标的三个控制点，加密待定点D,起算数据列于表中，在四个测站上观测10个方向，观测值列于表中，试以D坐标为参数，列出其误差方程。

B10 9

3 6 7 8

2 1

D5 4

A

C

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-2误差方程

二、测角网函数模型观测角度Li,设j,h,k均为待定点，参数为(Xj, Yj ),(Xh, Yh )和(Xk, Yk )观测方程为 Li+ vi=αjk αjhj令li= Li (αjk αjh ),即有误差方程 vi=δαjk δαjh li L k

h

将方向坐标平差的误差方程带入，即可得测角网坐标平差的误差方程。

误差理论与测量平差基础第七章间接平差 7-2误差方程

二、测角网函数模型例7-4图中A, B, C为已知坐标的三个控制点，同精度测得六个角度L1, L2,···, L6,试列出测角网坐标平差的误差方程。

B3

1

D5 6

A

2 4

C