数字电子技术第2章 逻辑代数基础

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第二章 逻辑代数基础2.1 概述(逻辑的概念) 2.2 逻辑代数中的基本逻辑运算 2.3 逻辑代数中的公式和定理 ( 2.3,2.4) 2.5 逻辑函数及其表示方法 2.6 逻辑函数的化简方法 逻辑函数的公式法及卡诺图法化简方法 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简

本章重点:

基本概念及逻辑函数的化简

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2.1 概述基本概念 逻辑： 事物的因果关系 逻辑运算的数学基础： 逻辑代数 在二值逻辑中的变量取值： 0或1

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2.2 逻辑代数中的基本逻辑运算 一、基本逻辑运算 1、与(AND)逻辑与逻辑：决定事件发生的各条件中， 所有条件都具备，事件才 会发生(成立)。

规定: 开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“0” 真值表

逻辑式：F=A B

真值表特点: 有0 则0, 全1则1

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2、 或(OR)逻辑 或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以 上的条件具备，事件就会发生(成立)。真值表

逻辑式：

F=A+B

真值表特点： 有1 则1, 全0则0。

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3、 非(NOT)逻辑非逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件不具 备时事件发生(成立),条件具备时事 件不发生。 真值表

逻辑式：

F A

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与、或、非的逻辑符号

三种基本的逻辑运算：与、或、非； 对应的三种基本门电路：与门、或门、非门(反相器)。

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二、其它常用复合逻辑运算 与非 或非 与或非

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异或 Y= A B

同或Y= A ⊙B

异或 A B 0 0 0 1 10 11 同或 B 0 1 Y 0 1 1 0

A 0 0 10

Y 1 0 0

11

1

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2.3 逻辑代数中的公式和定理( 2.3,2.4)一、公式1、 常量之间的运算 0 0 0 1 0 1 0 2 1 1 1 3 0 1 4

1 1 1 1D

1 0 1 2D

0 0 0 3D

1 0 4D

2、常量和变量之间的运算

A 1 A 5

A 0 A 5D A A 0 7

A 1 1 6D

A 0 0 6

3、变量和变量之间的运算

A A 1 7

D

互补律，变量与其反变量之间的关系 返回1

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A B B A 8

(A B) C A (B C) 9 D

D

分配律

(重叠律)

D

A A 13

还原律A A B A B 16 A(A B) A 18

AB A

B A 14 A AB A 15

AB A C BC AB A C 17 AB A C BCD AB A C(17推论)

14~18,吸收律

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AB A B A B AB 19

AB A C AB A C 20 由两乘积项组成的表达式中，如果一项含因子A,另一项含A的 非，则这两项其余因子各自取反，就得到这个函数的反函数。A AB AB 21 A AB A 22

4、关于异或运算的公式A B AB A B A B B A (A B) C A (B C) 因果互换律：

A B A B ABA 1 A

A A 0

A 0 A

A A 1

A B C A C B , B C A

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二、 逻辑代数的基本定理1、代入定理：在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取代 该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。

2、反演定理：在一个逻辑函数式Y中,若将其中所有的“+”变成“·”,“·”变成 “+”,“ 0”变成“1”, “1”变成“0”,原变量变成反变量，反 变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反函数，记作： Y 注意： 练习：P27例 a)运算的优先顺序。 2.4.2,2.4.3 b)不是单个变量上的非号应保留不变。

例: 试用反演定理求 Y AB C D E 的反逻辑式。 解： Y A B (C D E)

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3、对偶定理：对偶式：在一个逻辑函数式Y中,若将其中所有的“+”变成“·”, “·”变成“+”,“ 0”变成“1”, “1”变成“0”,所得函数式即 ： 对偶定理：若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。

例：试求函数式 Y AB C D E 的对偶式。解： YD

A B C D

E

例：证明：A BCD (A B)(A C)(A D) 解：Y1 A BCD,Y2 (A B)(A C)(A D)Y1D A(B C D) AB AC AD

Y2D AB AC ADD D

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2.5 逻辑函数及其表示方法2.5.1 逻辑函数的概念 2.5.2 逻辑函数的表示方法(逻辑真值表、函数表 达式、逻辑电路图、波形图、卡诺图) 2.5.3 逻辑函数的两种标准形式(最小项表达式、 最大项表达式) 2.5.4 逻辑函数形式的变换

2.5.1 逻辑函数的概念对于一个逻辑事件，输入量(即条件)与输出量(即 结果)之间也是一种函数关系，称为逻辑函数关系，也可 以写作：Y=F(A,B,C,…)。 这种逻辑函数关系有五种表达方式：逻辑真值表、函 数表达式、逻辑电路图、波形图、卡诺图。

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2.5.2 逻辑函数的表示方法一、逻辑真值表：将输入变量所有取值下对应的输出值求出来， 列成表格，即为逻辑真值表。 例：举重裁判电路，A为主裁 判，B、C为副裁判，灯亮时 判为试举成功。A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 0 0 0 0 0 1 1 1

列写逻辑真值表的步骤a) 找出输入、输出变量，并用 相 应的字母表示； b) 逻辑赋值。 c) 画出表格。

返回2

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二、逻辑函数式：将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子， 又称函数式或逻辑式。

Y A B C

三、逻辑电路图：是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑符号表示出来的图形。

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四、波形图：将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。

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五、逻辑函数表示方法之间的相互转换 (1)真值表 函数式a)找出真值表中使函数值为1的输入变量取值； b)每个输入变量取值都对应一个乘积项，变量取值为1, 用原变量表示；变量取值为0,用反变量表示。 c)将这些乘积项相加即可。 举例2 练习P31~P32 例2.5.1

(2)函数式

真值表

首先在表格左侧将各个不同输入变量取值依次按递增顺序 列出来，然后将每组输入变量取值代入函数式，并将得到 的函数值对应地填在表格右侧即可。 练习P31~P32 例2.5.2

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五、逻辑函数表示方法之间的相互转换 (3)函数式 (4)逻辑图

逻辑图