高等数学上册第一章测试试卷的答案

这是高等数学上册第一章测试试卷的答案~!

理科A班第一章综合测试题解答

一、1．[1,2) 2

．g(x) 3．

5

．[

二、1．（C） 2．(B) 3．（D） 4.（D） 5.（C） 三、解 f(x)

1

0,x 0,

(x |x|) 2 x,x 0.

12

(x x|x|).

2

11 e

4．ln5

0, (x) 0 0, x 0,

f[ (x)] 2

(x), (x) 0 x,x 0,

f(x) 0, [f(x)]

四、解 1、令2 x t，则x 2时，t 0，

原式 lim(4 t)tcot

t 0

4

t lim

t 0

(4 t)t

4

cos

4

t

16

t

.

2、原式=lim

1 x x 3

1 x

3

2

x 1

lim

(x 1)(x 2)(1 x)(1 x x)

2

x 1

lim

(x 2)1 x x

2

x 1

1.

1

xf(3、设f(x) 3 1，原式=lim 1 f(x) x) x x

1

1

xf(x)

.

1

limxf(x) limx[

x

x

1x

1

3x 1] limx

x

1x

limx(3x 1)

x

1 limx

x

1x

ln3 1 ln3,

原式 e

1 ln3

3e.

4、

1 2 n

n n

2

1n 1

2

2n 2

2

nn n

2

1 2 n

n 1

2

，

lim

1 2 n

n 112

2

n

lim

n(n 1)2(n 1)

2

n

12

lim

1 2 n

n n

2

n

,

原式 .

1/x1/x

5、 lim

x 0

eeee

1 1 1 1

arctan

1x1x

=

0 10 1

(

2

)

2

;

1/x1/x

lim+

x 0

arctan

=lim+

x 0

1 e1 e

1/x 1/x

arctan

1x

2

,

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原式

2

.

x(x 4)sin x

2

五、解 当x 0时，f(x)

2

为初等函数，f(x)在点x n(n Z)处无定义，

2

x 2

limf(x) lim

x(x 4)sin x

x 2

lim

x(x 4)

x 2

(x 2)

8

; limf(x) ，n 1,3,4, ;

x n

当x 0时，f(x)

x(x 1)x 1

2

为初等函数，f(x)在点x 1处无定义，limf(x) ;

x 1

在点x 0处，limf(x) lim

x 0

x 0

x(x 4)sin x

2

4

,

x 0

lim f(x) lim

x 0

x(x 1)x 1

2

0;

综上，f(x)的间断点为x= k(k Z),x=0与x 1，且x 2为可去间断点（第一

类），x=0为跳跃间断点（第一类），x n(n 1,3,4, )与x 1为无穷间断点（第二类）.

f(x)在其它点处皆连续.

六、解

lim

x

lim

A

x

lim

x

A

lim

x

A2

2x

k

x 1

3

lim

x

x2

k

1

1 1 1, x

k

32

;A

14

1/2 f(x)sinx1/3 xf(x)

42

2

七、解 lim

x 0

lim

x 0

lim

3f(x)2x

2

x 0

5,

lim

f(x)x

2

x 0

103

.

八、证明：由已知，得f(0) 2f(0)， f(0) 0.

x ( , )，f(x x) f(x) f( x). 由f(x)在x 0处连续性，得

x 0

lim[f(x x) f(x)] limf( x) f(0) 0.

x 0

从而f(x)在点x处连续性，由x的任意性，f(x)在( , )内连续.

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九、证明： x ( , ), 则 n Z, 使得n x n 1, 则[x] n.于是

f(x)

n

n 0,f(x )

n 1

n 从而f(x)在( , )上有界.

f(x)是以1为周 x ( , )， f(x 1) x 1 [x 1] x 1 ([x] 1) f(x)，

期的周期函数.

十、证明：构造辅助函数F(x) f(x a) f(x). 由已知，得F(0) f(a) f(0) f(a)，

F(1 a) f(1) f(1 a) f(1 a)，由f(x)非负，可得，

F(0) F(1 a) f(a) f(1 a) 0.

若f(a) 0或f(1 a)=0，可取x0 0或x0 1 a，即有f(x0 a) f(x0). 否则F(0) F(1 a) 0， f(x)在[0,1]上连续， F(x)在[0,1 a]上连续. 根据零

) 0点定理 x0 (0,1 a) [0,1], 使得x0 a [0,1]，且F(x

，即f(x0 a) f(x0). 得

证.