3.8《函数的最大值和最小值》

教学目标教学目标： 教学目标：

1.使学生理解函数的最大值和最小值概念 使学生理解函数的最大值和最小值概念 2.会用导数求函数在闭区间上的最值 会用导数求函数在闭区间上的最值 3.会用导数求一些实际问题的最值 会用导数求一些实际问题的最值

教学重点： 教学重点：

会利用导数求函数的最大值和最小值。 会利用导数求函数的最大值和最小值。

教学难点： 教学难点：

函数最大值、最小值与函数极大值和极小值的区 函数最大值、 别与联系。 别与联系。

知识梳理

1.已知函数 已知函数y=f(x)在区间 在区间[a,b]连续，则函数 连续， 已知函数 在区间 连续 则函数y=f(x)在 在 区间[a,b]上有 最大值 和_______. 上有______和 最小值 区间 上有 2.若在[ a , b ] 上,存在x0 ∈[a, b], 对于任意自变量 x∈[a, b] 若在 存在 f ( x) ≥ f ( x0 ) 都有___________[_________], 都有 f ( x) ≤ f ( x0 ) 最大值 最小值 则称 y = f ( x)在x = x0处有 _______[_______] 注意： 注意： (1)函数的最值是比较整个区间内的函数值得出的； 函数的极值是比较极值点附近函数值得出的。 (2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多 各有一个，而函数的极值可能不止一个，也 可能没有一个。

观察归纳y y

o

a

x0

b

x

o

x0 (a)

b

x

f(x)在闭区间[a,b]上的最值一定是在极值点和 端点处取得。在区间[a,b]中比较极值与端 点函数值f(a)、f(b)的大小，就可以得出函 数的最大值与最小值。

例题解析f ( x) = x 3 2 x 2 + 5 在区间 [-2,2]上的最 例1 求函数 上的最

大值与最小值。 大值与最小值。 解： ' (x) = 3x2 4x = x(3x 4) f4 令f ' ( x) = 0, 解得 x1 = 0, x 2 = 3

+0

4 3

+4 3

4 x = 0是极大值点，x = 是极小值点 3在[-2,2]中, f (0) = 5, f ( ) =

103 , f ( 2) = 11, f (2) = 5 27

∴f(x)在[-2,2]中有最大值5,最小值-11.

思路方法设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， 求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)确定函数定义域，求导函数 f ' ( x) ; (2)求方程 f ' (x) = 0的全部实根； (3)确定f(x)在(a,b)内的极值点； (4)求出f(x)的各极值与f(a)、f(b),并进行比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 小值.

例题解析例2 已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 在x=1时有极大值3, (1)求a,b的值 (2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值最小值

求 含 有 参 数 的 函 数 在 区 间 上 的 最 值 问 题

(1) f ( x) = ax3 + bx2 , f ' ( x) = 3ax2 + 2bx 解：由题意可知： a = 6 f ' (1) = 3a + 2b = 0 b = 9 f (1) = a + b = 3 (2) f ( x) = 6 x 3 + 9 x 2 , f ' ( x) = 18x 2 + 18x

0

+

= 18 x( x 1)1

x=0 x=1

小值 大值

在[0,3] , f (0) = 0, f (1) = 3, f (3) = 81

∴f(x)在[0,3] [0,3]中有最大值3,最小值-81. [0,3]

例题解析f (x) = ax3 6ax2 +b(a > 0) 在[-1,2]上的 3:已知函数 1,2]上的 例3:已知函数 最大值为3,最小值为-29, a,b的值 3,最小值为 的值. 最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.已 知 函 数 在 区 间 上 的 最 值 求 参 数 值 的 问 题 解： f ( x ) = ax 3 6 ax 2 + bf ' ( x ) = 3ax 2 12 ax = 3ax ( x 4 ) 令f ' ( x) = 0, 解得 x1 = 0 , x 2 = 4 是极值点

在[-1,2]中, f (0) = b, f ( 1) = 7a + b, f (2) = 16a + b

∵a > 0∴ f (0) > f ( 1) > f (2)b=3 由题意得 16a + b = 29 a = 2 b = 3

例题解析1 2 例4 已知函数 f (x) = x 2 x 2x + 53

当x ∈ [ 1,2]时， f ( x ) < m恒成立，求实数 m的取值范围

与 函 数 最 值 有 关 的 综 合 性 问 题

解

f ' ( x) = 3 x 2 x 2 = (3 x + 2)( x 1)f ' ( x) = 0,2 x1 = , x 2 = 1 3

+ 2 3

,

+1值

x =1

2 值 ，x = 3f ( 2) =

[-1,2]

11 2 157 , f (2) = 7, f ( ) = 2 3 27

∴f(x)在[-1,2]中有最大值7. [ 1,2] 7 f(x)<m恒成立， m>7.

练习 (D ) 1.下列说法正确的是 A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在极值 2.求下列函数在给定范围内的最大值、最小值：

(1) y = x 3 3x,0 ≤ x ≤ 10 (2) y = x 2 + (2 x) 2 ,0 ≤ x ≤ 24

最大值：970 最大值：4

最小值：0 最小值：2

1 1 3.函数 y = x ln x的最小值为 __________ _ . e3 2 4. f ( x) = ax 6ax + b在区间[ 1,2]的最大值为3,最小值为 - 29,

且a > b, 求a、b

a=-2 29

b=-

课堂小结

⒈最值的概念 ⒉利用导数求最值的步骤 作业：完成练习 作业：