《计算物理》第五章习题参考答案

第五章《有限元素方法》习题参考答案

1. 证：本题中用到了特殊函数Beta函数，为此，先引入数学定义

1

B(m,n) tm 1(1 t)n 1dt

(m) (n)

,

(m n)

B(m 1,n 1)

m!n!

,m,n 0.

(m n)!

三角形型函数

Ni(x,y) (ai bix ciy)/(2 ),

Nj(x,y) (aj bjx cjy)/(2 ),

Nm(x,y) (am bmx cmy)/(2 ).

给出了(x,y)平面到(Ni,Nj)平面的变换。

Ni(xi,yi) 1, Nj(xi,yi) 0, Nm(xi,yi) 0;

由于Ni(xj,yj) 0, Nj(xj,yj) 1, Nm(xj,yj) 0;

Ni(xm,ym) 0, Nj(xm,ym) 0, Nm(xm,ym) 1.

故(x,y)平面上的顶点(i,j,m)分别变换为(Ni,Nj)平面上的点

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). 再由积分面积元素的变换公式

Ni

x (Ni,Nj) dNidNj J

(x,y) Nj

x

Ni y1

dxdy dxdy Nj2 y

其中， xj

xm

12

xiyiyj ym

1

(bicj bjci). 2

由此得到

klnklnNNNdxdy 2 NNNdNidNjijmijm e

e

11 Ni

（1）

Nlj(1 Ni Nj)ndNj

2 NikdNi

其中，

1 Ni1 Ni

Nlj(1 Ni Nj)ndNj

Nlj(1 Ni)n(1

Nj1 Ni

l

ndNj

Njn 1 Ni Nj = (1 Ni)n l (1)dNj

1 Ni 1 Ni 0

2. 解：首先写出正方形场域下拉普拉斯方程的泛函表示 Nj 1 N z

1

i

(1 Nn l 1 1i)zl 1(1 z)n 1 1dz

=(1 N

l 1i)nB(l 1,n 1)

代入（1）式有

1

N

k

lnk 1 12 1i

NjNm

dxdy 2 (1 Ni)n lB(l 1,n 1)dNi

e

Ni0

=2 B(k 1,n l 2)B(l 1,n 1)

=2

k!(n l 1)!l!n!(k n l 2)!(n l 1)! 2 k!l!n!

(k n l 2)!

.

注：此处证得结果与教材相差2倍。

2 I[ ] 2

x2 y2 dxdy,

D

D 0.其中区域D：0 x 1,0 y 1. i).用三角形元素划分区域：

D {e(i,j,k)},其中，

xl,yl e,l i,j,m. e元素内任一点(x,y)的势函数由线性插值给出（试探函数） (x,y) N(N)TT

l(x,y) l e( )e ( )e(N)e

l

i 其中，( ) Ni

e j,(N)e Nj m N .

m

ii).写出有限元方程： 泛函有限元素的表达式为

1e0

I[ ] Ie( ) ( )Te(K)e( )e 2e 1e 1

(e)

e0

其中，

xi

11ee

Ksr Krs(brbs crcs), =xj

4 2

xm

yiyjym

i

al l j

mxixjxmyi iyj, bl l jym myixi i

yj, cl l xj j.ymxm m

引入

( 1, , n)T, K (K1, ,Kn)T, n为元素节点数（e的顶点）由泛函极值条件

d

(I[ ]) 0, i 1,2, ,n，得有限元方程 d i

(K)( ) (0)

其中(K)的矩阵元素是所相关的三角形元素对该矩阵元 素的贡献之和。考虑边界条件的限制，对节点重新编号 D 0, n i 0, i 1,2, ,n n0.

定义向量( )2 ( n 1, , n)T,( 0) ( 01, 02, , 0(n n))T.

则边界化为 ( )2 ( 0)，进一步定义( 1) ( 1, , n)T

则有强加边界条件的有限元方程

(K11)( 1) (0) (K12)( 2)

( 2) ( 0)

其中(K11)n n.

iii).用迭代法求解有限元方程：

(0)

首先，赋初始值 ( 1) { i(0)},i 1, ,n0;

由超松弛迭代法 有

i(m 1) i(m) Ri(m)

= iGS(m 1) (1 ) i(m) =(1 ) (k)

(k)

(m)i

n0

i 1 (m 1)(m) ( kij j kij j)/kii

j i 1 j 1

当

时，stop! 其中，

移位矢量 (m) { i(m)} { i(m) i(m 1)}, req.