等差等比数列的简单性质

高考常用的知识,也是基本知识

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项， ，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an；

数列的一般形式：a1，a2，a3， ，an， ，简记作 an 。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

数列①的通项公式是an= n（n 7，n N ），数列②的通项公式是an= （n N ）。

说明：① an 表示数列，an表示数列中的第n项，an= f n 表示数列的通项公

1

n

1,n 2k 1

式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)= (k Z)；

1,n 2k

n

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，

2．等差数列

1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等

于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an an 1 d(n 2)或an 1 an d(n 1)。 2）等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0 为递减数列。 3）等差中项的概念：

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A

a b

2

a，A，b成等差数列 A

a b

。 2

n(a1 an)n(n 1)

na1 d 22

（4）等差数列的前n和的求和公式：Sn

例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：

（1）1，3，5，7 ；

22 132 142 152 1

（2），，，；

2345

（3）

1111，， ，。

3*44*51*22*3

n2 n 1

(n N )，例2．数列 an 中，已知an (1)写出a10，an 1，an2； （2）3

2

79是否是数列中的项？若是，是第几项？ 3

高考常用的知识,也是基本知识

五．思维总结

1．数列的知识要点：

（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N（或它的有限子集｛1，2，3， ，n， ｝）上的函数f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1），f（2），f（3）， ，f（n）， 。数列的图象是由一群孤立的点构成的。

（2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛an｝中，前n 项和Sn 与通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。即an

＝

(n 2)

到的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

2．等差数列的知识要点：

S1

Sn Sn 1

(n 1)

。特别要注意的是，若a1 适合由an＝Sn－Sn－1（n≥2）可得

（1）等差数列定义an＋1－an＝d（常数）（n N），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3－a2＝a2－a1＝d（常数）就说｛an｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。还可由an＋an＋2＝2 an＋1 即an＋2－an＋1＝an＋1－an 来判断。

（2）等差数列的通项为an＝a1＋（n－1）d．可整理成an＝an＋（a1－d），当d≠0时，an 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合。

（3）对于A 是a、b 的等差中项，可以表示成2 A＝a＋b。

（4）等差数列的前n 项和公式Sn＝＋(a1

a1 ann(n 1)d

·n－na1＋d，可以整理成Sn＝n2

222

dn

)。当d≠0时是n 的一个常数项为0的二次式。 2

（5）等差数列的判定方法：

①定义法：对于数列 an ，若an 1 an d(常数)，则数列 an 是等差数列； ②等差中项：对于数列 an ，若2an 1 an an 2，则数列 an 是等差数列。 3．等差数列的性质：

（1）在等差数列 an 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是AP， 如：a1，a3，a5，

a7， ；a3，a8，a13，a18， ；

（3）在等差数列 an 中，对任意m，n N ，an am (n m)d，

d

an am

(m n)；

n m

（4）在等差数列 an 中，若m，则am q N 且m n p q，an ap aqn，p，

；

5．说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，

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则①S奇 S偶 nd； ②

S奇a

（Ⅱ）若项数为奇数，设共有2n 1项，则①S偶 S n；

S偶an 1

S奇n

奇 an a中。

S偶n 1

6．（1）a1 0，d 0时，Sn有最大值；a1 0，d 0时，Sn有最小值；（2）

若已知Sn，可用二次函数最值的求法（n N ）；②若已知an，则SnSn最值的求法：①

最值时n的值（n N ）可如下确定

an 0 an 0

或 。

an 1 0 an 1 0

2 等比数列

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那．．．．．．么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示

(q 0)，即：an 1：an q(q 0)数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的

1

公比依次是2，5， 。（注意：“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不

2

为零）

2．等比数列通项公式为：an a1 qn 1(a1 q 0)。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d 1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{an}为等比数列，则

am

qm n。 an

3．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列a1,a2,a3, ,an, 的前n项和是Sn a1 a2 a3 an，当

a1(1 qn)a anq

q 1时，Sn 或Sn 1；当q=1时，Sn na1（错位相减法）。

1 q1 q

n

说明：（1）（2）注意求和公式中是q，a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；

通项公式中是qn 1不要混淆；（3）应用求和公式时q 1，必要时应讨论q 1的情况。

五．思维总结

1．等比数列的知识要点（可类比等差数列学习） （1）掌握等比数列定义

an 1

＝q（常数）（n N），同样是证明一个数列是等比数列的an

依据，也可由an·an＋2＝an 1来判断；

（2）等比数列的通项公式为an＝a1·q

n－1

2

；

（3）对于G 是a、b 的等差中项，则G2＝ab，G＝±ab；

高考常用的知识,也是基本知识

（4）特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q＝1与q≠1两类，当q＝1时，Sn＝

a an qa1 (1 qn)

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