基于matlab gui的傅里叶变换分析与仿真设计(3)

3.1.5 傅里叶变换的时域微分性

若f(t) F(jw)，则傅里叶时域微分特性为：

dfn(t)n() jwF(jw) dtn

假设 f(t)=2|t|+2 ，f1(t)=f(t)，f'(t)为f(t) 的一阶导数观察比较 'F1(jw)与jwF(jw)的图形

图3-6 傅里叶变换时域微分性显示图

Fig3-6 Fourier transform domain differential shown FIG

图3-6是傅立叶变换时域微分性质的界面图，单击“输入”按钮，坐标轴1 将显示原函数的时域波形，单击“显示结果”按钮，坐标轴3、4 将显示原函数的频谱图和原函数一阶倒数的傅里叶变换F1(jw)与jw的比值F3(jw)的图形。比较坐标轴3、4可以发现它们波形相同，即F(jw)= F1(jw)/( jw) 变换之后为F(jw)乘以 jw等于F1(jw) ，验证了傅里叶变换的时域微分性质[7]。

3.2 周期信号的分解与合成

根据周期信号的傅里叶展开式可知，任何非正弦周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为一直流分量和由基波及各次谐波（基波的整数倍）分量的叠加。例如一个周期方波信号f(t)可以分解为如下形式：

f(t)=4E111(sinω1t+sin3ω1t+sin5ω1t+sin7ω1t+") π357

同样，由基波及各次谐波分量也可以叠加出来一个周期方波信号，至于叠加出来的信号与原信号的误差，则取决于傅里叶级数的项数[8]。

根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以用一组三角函数{sin(2πnf0t)}，{cos(2πnf0t)}的组合表示。在误差确定的前提下，任意的一个周期函数都可以用一组三角函数的有限项叠加而得到，同样也可以用一组正弦波和余弦波来合成任意形状的周期信号

[9]。

本仿真平台给出了周期方波信号的分解与合成演示图。

图 3-7方波信号波形 图3-8 基波信号波形

Fig3-7 Pulse waveform Fig3-8 Signal waveform

图 3-9 第13次谐波叠加波形 图 3-10 前4项谐波叠加波形

Fig3-9 Article 13 harmonic wave superposition Fig3-10 Before stack four harmonic wave

图3-11前6项谐波叠加波形 图3-12各次谐波叠加波形

Fig3-11 Before stack six harmonic wave Fig3-12 Every harmonic superposition waveform

在本实验平台图2-3界面进入周期方波信号的分解与合成子界面，首先键盘输入傅里叶级数的展开项数以设置参数m,m决定了实验中傅里叶级数展开的最高项数，然后单击“显示图像”按钮，显示周期方波波形，然后在文本框中键盘输入一个数字，实现前n项级数叠加的波形。前m项级数叠加波形出现后，将显示各次谐波叠加的波形，图标中用不同颜色区分了不同项数级数叠加的波形，以利于比较总结规律。比较以上显示的波形，容易发现级数的项数越多，叠加出的波形越接近于方波。但由于周期方波信号包含间断点，因此在间断点附近，随着所含谐波次数的增加，合成波形的尖峰越接近间断点，但尖峰幅度并未明显减少。可以证明，即使合成波形所含谐波次数n→∞时，在间断点处仍有约9%的偏差，这种现象成为吉布斯（Gibbs）现象[10]。

4 结论

本文将MATLAB图形用户界面应用于信号与系统实验，对傅里叶变换的性质的分析和周期信号的分解与合成的分析进行了仿真设计。MATLAB GUI可视化的人机交互式环境使信号处理中的概念、性质、定理直观地向用户反映，避免了复杂的数学运算及推导和过度关注信号与系统分析的数学过程的现象。系统实用性强、操作简单，用户很容易上手，从而激发了学生的学习兴趣。

MATLAB GUI 具有强大的可扩充性，用户可以根据自己的需要，设计出具有专门功能的界面，这样为学生在后续课程的学习中熟练使用MATLAB打下良好的基础，也激发了学生的创新能力而且可以锻炼和培养学生利用一门高级计算机工程语言来学习专业知识和解决专业问题的能力。

系统总体设计成功，能够实现预期的实验目的，学生对傅里叶变换性质清楚的认识有利于他们更好地利用这些性质进行傅里叶计算。利用软件技术构建虚拟的实验平台是提高课程教学质量及实验效率、降低实验成本的一条有效的途径。MATLAB作为二次开发平台设计，保证了实验系统的通用性。

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