14 线性动态电路的复频域分析

电路分析2

第14章

线性动态电路的 复频域分析

14.1 拉普拉斯变换的定义 14.2 拉普拉斯变换的基本性质 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 14.4 运算电路 14.5 用拉普拉斯变换法分析线性电路

本章重点

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作业 14-1 (1)(5) 14-2 (1)(3) 14-4 (b) 14-6 ---一阶 14-8 ---二阶

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重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点

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14.1 拉普拉斯变换的定义1. 拉氏变换法拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是 把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域 问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶 微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用 拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 又称运算法。

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①相量法

正弦量 i1 i2 i 相量 1 I 2 I I

时域的正弦运算 变换为复数运算

②运算法 拉氏变换 对应 f(t)(时域原函数) F(s)(频域象函数)返 回 上 页 下 页

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2. 拉氏变换的定义定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：

F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2πj

正变换 反变换

简写 F (s) L f (t ) , f (t ) L F (s) -1

s

复频率

s j 返 回 上 页 下 页

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3.典型函数的拉氏变换

F ( s) 0 f (t )e dt st

(1)单位阶跃函数的象函数

f (t ) (t )F ( s) L[ (t )] 0 (t )e dt 0 e dt st

st

1 st 1 e 0 s s

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(2)单位冲激函数的象函数

f (t ) (t )F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0 st

0

st

e

s0

1

0

(3)指数函数的象函数

f (t ) e

at

F ( s) L e 1 s aat

1 ( s a ) t e e e dt 0 0 s a at st返 回 上 页 下 页

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14.2 拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质

若

L[ f1 (t )] F1 (s) ,

L[ f 2 (t )] F2 (s)

则 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1L f1 (t ) A2 L f 2 (t ) A1F1 (s) A2 F2 (s)

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例1 求 : f (t ) K (1 e解

at

)的象函数

F (s) L[ K ] - L Ke

at

K K Ka s s a s( s a)

例2解

求 : f (t ) sin( t )的象函数F (s) L sin (ωt ) 1 j t j t L (e e ) 2j

1 1 1 2 2 j s j s j s 2

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2. 微分性质

若： L f (t ) F (s)

利用

udv uv vdu

df (t ) 则

: L s F ( s ) f ( 0 ) d t 证 df (t ) L dt

e f (t )

st

0

0

df (t ) st st e dt e df (t ) 0 dt

0

f (t )( se st )dt0

f (0 ) sF ( s)

若 足够大返 回 上 页 下 页

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例 利用导数性质求下列函数的象函数

(1) f (t ) cos( t )的象函数解

dsin( t ) cos( t ) dt 1 d(sin t ) cos( t ) dt 1 d L[cos t ] L (sin( t ) dt s 1 s 2 0 2 2 2 s s 返 回 上 页 下 页

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(2) f (t ) δ ( t )的象函数解

d (t ) (t ) dt

1 L[ (t )] s

d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s

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3.积分性质

若：L[ f (t )] F (s)t 0

则： L[

t

0

证 令 L[ f (t )dt ] (s)

1 f ( )d ] F (s) s应用微分性质

F ( s) s ( s) f (t )dt0

d t L[ f (t )] L f (t )dt dt 0 0t t 0

F (s) (s) s返 回 上 页 下 页

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例 求 : f (t ) t ( t )和f (t ) t 2 (t )的象函数解

L t (t ) L[ 0 (t )dt ]

1 1 1 2 s s s2 s3

L[t (t )] L[2 tdt ] 20

t

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4.延迟性质

若： L[ f (t )] F (s)则： L[ f (t t0 ) (t t0 )] e st0 F (s)

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5.拉普拉斯的卷积定理

若： L[ f1 (t )] F1 (s) L[ f 2 (t )] F2 (s)

则： L[ f1 (t ) f 2 (t )] L f1 (t ) f 2 ( )d 0

t

F1 ( s) F2 ( s)

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常用时间函数及其象函数：A (t ) A A (t ) A / s A at Ae s a 2 t 1/ s

sin ( t ) 2 2 s co s( t ) s2

s 2

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14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开由象函数求原函数的方法：

1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2πj(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合

F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)

f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )

部分分式 展开法

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