2.3.1_等差数列前n项的和

等差数列前n项的和,高中数学,数列,优秀课件。

等差数列前n项的和,高中数学,数列,优秀课件。

复习1.等差数列的定义：

an 是 等 差 数 列2.通项公式：a n a 1 ( n 1) d .

a n a n 1 d ( n 2 )

3.重要性质:⑴ a n a m ( n m )d .

⑵ m n p q am an a p aq .

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情景1一个堆放铅笔的 V形架，最下面第一 层放一支铅笔，往上 每一层都比它下面多 放一支，就这样一层 一层地往上放。最上 面一层放100支。求 这个V形架上共放着 多少支铅笔？

即求S=1+2+3+···+100=? ···

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高斯“神速求和”的故事: 高斯出生于一个工 匠家庭，幼时家境贫困， 但聪敏异常。上小学四 年级时，一次老师布置 了一道数学习题：“把 从1到100的自然数加起 来，和是多少？”年仅 10岁的小高斯略一思索 就得到答案5050,这使 老师非常吃惊。那么高 斯是采用了什么方法来 巧妙地计算出来的呢？

高斯(1777---1855), 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德，被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。

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求 S=1+2+3+···+100=? 你知道高斯是 ··· 怎么计算的吗？ 高斯算法：首项与末项的和：第2项与倒数第2项的和：

1+100=101,2+99 =101,

第3项与倒数第3项的和： ··· ···于是所求的和是：

3+98 =101,

第50项与倒数第50项的和：50+51=101,101 100 2 5050.

高斯算法用到了等差数列的什么性质？m n p q am an a p aq .

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情景2如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、 5、6、7、8、9、10,求钢管总数。

即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：

还有其它算 法吗？

S=(4+10) +(5+9)+(6+8)+7 = 14×3+7=49.

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S=4+5+6+7+8+9+10.S=10+9+8+7+6+5+4. 相加得：

倒序相加法

2 S (4 10) (5 9) (6 8) (7 7) (8 6) (9 5) (10 4)

(4 10) 7.两种求和法 ：

S

(4 10) 7 2

49.

高斯算法倒序相加法

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探究设 等 差 数 列 a n 的 前 n项 和 为 S n , 即 S n a 1 a 2 L a n .

怎样求一般等差数列的前n项和呢？

S n a1 a 2 L a n .S n a n a n 1 L a1 .2 S n ( a1 a n ) ( a 2 a n 1 ) ( a n a 1 )

n ( a1 a n ).

a1 a n a 2 a n 1 L a n a 1

Sn

n ( a1 a n ) 2

.

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思路2S n a1 a 2 L a n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 2 d ) L [ a 1 ( n 1 ) d ].

S n a n a n 1 L a1 a n ( a n d ) ( a n 2 d ) L [ a n ( n 1) d ].相 加 得 ：S n (a1 a n ) (a1 a n ) L (a1 a n ) 2 1444444444444442 444444444444443n个

n ( a 1 a n ). Sn n(a1 a n ) 2 .

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思路3S n a1 a 2 L a n a 1 (

a 1 d ) ( a 1 2 d ) L [ a 1 ( n 1 ) d ].

S n a n a n 1 L a1 [ a 1 ( n 1) d ] [ a 1 ( n 2 ) d ] [ a 1 ( n 3 ) d ] L a 1 .

相加得

2 S n [2 a1 ( n 1) d ] n .

S n n a1

( n 1) n 2

d.

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等差数列的前n项和公式公式1Sn n ( a1 a n ) 2an

a

1

( n 1) d

公式2

S n na 1

n ( n 1) 2

d

等 差 数 列 中 五 个 基 本 量 ： a 1、 a n、 d 、 n、 S n 之 间 有 几 个 等 量 关 系 ？

a 1、 a n、 d 、 n、 S n 五 个 量 中 “ 知 三 求 二 ” .( 方 程 的 思 想 )

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公式记忆Sn

—— 类比梯形面积公式记忆S n n a1 ( n 1) n 2

( a1 a n ) n 2

d

a1

n

an

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举例例1、计算：(1)1 2 3 L n; n ( n 1) 2

Sn

( a1 a n ) n 2 ( n 1) n 2 d

S n n a1

( 2 )1 3 5 L ( 2 n 1); (3) 2 4 6 L 2 n;

n

2

n ( n 1)

( 4 )1 2 3 4 5 6 L ( 2 n 1) 2 n .(4) 解 ： 原 式 [1 3 5 L (2 n 1)] (2 4 6 L 2 n ).又 解 ： 原 式 (1 2) (3 4) (5 6) L [(2 n 1) 2 n ].

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例2、 等 差 数 列 1 0 , 6 , 2 , 2 , L 前 多 少 项 的 和 是 5 4 ? 解：设 该 等 差 数 列 为 a n , 其 前 n 项 和 是 S n ,则 a1 10, d 6 ( 10 ) 4, S n 54. 根据等差数列前项和公式，得 - 10n 整理得 解得 n(n - 1) 2 n 6n 27 02

4 54

n1 9 , n 2 3 舍 去 ) (

因 此 ， 等 差 数 列 - 1 0, 6, 2,, 前 9 项 的 和 是 5 4 - - 2

注：本题体现了方程的思想.

Sn

( a1 a n ) n 2 ( n 1) n 2 d

S n n a1

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例3、数 列 a n 为 等 差 数 列 ， 若 a 1 a 2a 8 a 9 a 1 0 7 5, 求 S 10 .

a3 12,

a 1 d 4, a 1 1, a 1 a 2 a 3 1 2, 解： 由 d 3. a1 8 d 2 5 a 8 a 9 a1 0 7 5 S 1 0 1 0 a1 10 9 d 145.Sn 21

( a1 a n ) n

( n 1) n 2 S na d 2 a 1 a 2 a 3 1 2, 又解： a1 a10 a 2 a 9 a 3 a 8 87. 由 a 8 a 9 a1 0 7 5n

Q a1 a10 a 2 a 9 a 3 a 8, 3( a1 a10 ) 87即 ( a1 a10 ) 29.

整体运算 的思想!

S10

1 0 ( a1 a1 0 ) 2

5 ( a 1 a 1 0 ) 5 29 145.

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例4、在 等 差 数 列 a n 中 ，已 知 a 2 a 5 a 12 a 15 3 6 , 求 S 16 .

解： a 2 a 5 a 1 2 a 1 5 3 6 a 2 a1 5 a 5 a1 2 a1 a1 6 1 8 S16 1 6 ( a1 a1 6 ) 2 8 ( a1 a1 6 )Sn ( a1 a n ) n 2 ( n 1) n 2 d

8 18

144.

S n n a1

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