数学分析教案 (华东师大版)第十章定积分的应用

数学分析教案 (华东师大版)第十章定积分的应用

第十章 定积分的应用

教学要求：

1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等

教学时数：10学时

§ 1 平面图形的面积 （ 2 时 ）

教学要求：

1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积

一、组织教学：

二、讲授新课：

（一）直角坐标系下平面图形的面积 ：

1.简单图形：

型和

型平面图形 .

型和

2.简单图形的面积 : 给出

型平面图形的面积公式.

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对由曲线和

围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图 形的几何特征简化计算.

例1 求由曲线

围成的平面图形的面积. 例2 求由抛物线

与直线

所围平面图形的面积.

（二）参数方程下曲边梯形的面积公式： 设区间

梯形的曲边由方程

又设

式方程, 就有↗↗, 于是存在反函数

.

上的曲边 给出 . . 由此得曲边的显 ,

亦即

.

具体计算时常利用图形的几何特征 .

例3 求由摆线

围平面图形的面积.

例4 极坐标下平面图形的面积 :

推导由曲线

积公式

和射线所围“曲边扇形”的面的一拱与

轴所. (简介微元法 ，并用微元法推导公式 . 半径为 , 顶角为

的扇形面积为

. )

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例5 求由双纽线

所围平面图形的面积 .

解

倾角为

的两条直线之间 ) . 以

轴对称 ; 以

或

. ( 可见图形夹在过极点, 代

方程不变, 图形关于

代

, 方程不变,

图形关于

轴对称 . 参阅P242 图10-6

因此

.

三、小结：

§ 2 由平行截面面积求体积 （ 2 时 ）

教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积

（一）已知截面面积的立体的体积: 设立体之截面面积为

推导出该立体之体积

. .

祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子 齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )

例1 求由两个圆柱面

和

所围立体体积 . P244 例1 ( )

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例2 计算由椭球面

所围立体 (椭球 )的体积 .

[1] P244例2 ( )

（二）旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式.

.

例3 推导高为

, 底面半径为 的正圆锥体体积公式.

例4 求由曲线

立体体积.

例5 求由圆

例

6 绕

轴一周所得旋转体体积.( 1000

) 和

所围平面图形绕

轴旋转所得轴正半轴.绕轴旋转.求所得旋转体体积.

§ 3 曲线的弧长 ( 1 时 )

教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长，

（一） 弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲

即用折线总长的极限定义弧长 . 可求长曲线 .

（二） 弧长计算公式 : 光滑曲线的弧长.

设，，又，

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和 在区间

上连续可导且

. . 则上以

和

为端点的弧段的弧长为

为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对

, ,有

Ch 1 §1 Ex 第5题 (P4) . 其几何意义是: 在以点

超过第三边 .

事实上，

和

为顶点的三角形中,两边之差不

. 为证求弧长公式, 在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理,

然后对式

插项进行估计 .

如果曲线方程为极坐标形式

出其参数方程

. 于是

连续可导, 则可写

.

§ 4 旋转曲面的面积 ( 1 时 )

教学要求：旋转曲面的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算旋转曲面的面积

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用微元法推出旋转曲面的面积公式 :

曲线方程为

时，

；

曲线方程为

例1—2 P254—255例1—2. 时，.

§ 5 定积分的物理应用举例 ( 2 时 )

教学要求： 熟练地应用本章给出的公式，计算变力作功等。 教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算变力作功等

例1—2 P255—257E例1—3.

例3 P257—259例4-5.