数学分析与高等代数考研真题详解--浙江大学卷

博士家园考研丛书 （2010版）

全国重点名校数学专业考研真题及解答

数学分析与高等代数

考研真题详解

浙江大学数学专卷

博士家园 编著

《 博 士 家 园 数 学 专 业 考 研 丛 书 》

编委会

这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从2004年开始大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。有些试题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园(),这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！

国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成21世纪的数学大国。”每年有上万名数学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更多更新的信息与资源建立了专业网站——博士家园网站。本站力图成为综合性全国数学信息交换的门户网站，旨在为科研人员和数学教师服务，提供与数学研究和数学教学有关的一切有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流的数学科学信息交流中心之一。由于一般的院校可能提供一些往年试题，但是往往陈旧或者没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试题：

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博士家园

二零一零年二月

数学分析与高等代数考研真题详解

浙江大学考研数学专卷

目录

1999年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2002年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2003年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2005年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2005年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2007年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2007年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2008年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2009年招收硕士研究生复试试题常微分，复变，实变部分 2010年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题

2010年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答

浙江大学

1999年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答

1999年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答

一：证明：充分性：若f(x)能表示成一个整数多项式的平方，显然f(x)在有理数域上可约

必要性：由于f(x)在有理数域上可约，在存在整数系数多项式g(x),h(x)有

f(x)=g(x)h(x)， (g(x))>0, (h(x))>0，由于 1≤i≤n， f(ai)=1，即g(ai)h(ai)=1，则 g(ai) h(ai)=0

令F(x)=g(x) h(x)，则 F(x)<n,或F(x)=0，由于有n个不同的数为

()

F(x)=0的根，从而F(x)为零多项式，即g(x)=h(x)，即 f(x)=g2(x)，就有

f(x)能表示成一个整数多项式的平方

二：解；

(1)

En ααT=1 αTα=1

=En，从而

TTTTTT EααEααEαααααααα += + (2)由于 nnn

TT

E αα=E+ααnn

1

三：证明：(1)由于存在m阶可逆矩阵P1和n阶可逆矩阵P2，有

A=P1[Em0]P2，即

P

0] 1

0

0 P

P2，令Q= 1 En m 0

0

P2，显然Q可逆，则 En m

A=[P0]P2=[Em1

A=[Em0]Q

Em

，显然可知AB=Em 0

(2)令B=Q 1

四：证明： x∈P，不妨设x=

n

n

∑aα

ii=1

n

i

，又x=x Ax+Ax，则

Ax=∑aiAαi，从而Ax∈V2，又

i=1

A(x Ax)=(A A2)x=0，从而可知x Ax∈V1

即x∈V1+V2，即Pn V1+V2，任取x∈V1∩V2，所以Ax=0， 且存在k1, ,kn，有x=

n

n

∑kAα，又A

i

i

i=1

n

2

=A，从而可知

Ax=∑kiAαi=∑kiAαi=x，从而x=0，即V1∩V2={0}，所以

2

i=1i=1

Pn=V1⊕V2

五：证明：由于B正定，则存在可逆矩阵C有CTBC=En，又由于A对称，从而

CTAC也对称，即存在正交矩阵F，使FTCTACF=diag{λ1, ,λn}=D，即

(CF)

T

BCF=D,(CF)ACF=En，若取S=(FC

T

1

1T

)

，则有

B=SST,A=SDST

六：证明：(1)若A的一个特征值λ0，有

λ0>1，则此时

λ0En A为严格对角占优矩阵，即λ0En A可逆，这与λ0为A的特征值矛盾，从而，

λ≤1

(2)，令x=[1 11]，则

T

n

a ∑1i 1 i=1

Ax= = =x=λ0x，从而λ0为A的一个特征值

n 1 ∑ani i=1

七：证明：由于A正定，从而，存在可逆矩阵C有，A=CTC，

∴(αTAβ)=(αTCTCβ)=(Cα,Cβ)≤(Cα,Cα)(Cβ,Cβ)

2

2

2

=(αCCα)(βCCβ)=(αAα)(βAβ)

T

T

T

T

T

T

由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数k1,k2，使

k1Cα+k2Cβ=0，即k1α+k2β=0，即α,β线性相关

八：证明：(1)设A的特征多项式为f征值，从而f

(λ)，B的特征多项式为g(λ)，由于A,B无公共特

((λ),g(λ))=1，所以f(B)可逆，由于AX=XB，故对于 n∈

，均有

AnX=XBn，就有f(A)X=Xf(B)，所以Xf(B)=0 X=0，

即AX=XB只有零解；

(2) x,y∈ n×n,k∈ ，由

Α(x+y)=A(x+y)+(x+y)A=Ax+xA+Ay+yA=Αx+Αy A(kx)=A(kx)+(kx)A=kAx+kxA=k(Ax+xA)=kΑx

所以Α是一个线性变换，

由于A和 A无公共特征根，即根据(1)的结论就有

AX=X( A)只有零解，即AX+XA=0只有零解，从而Α可逆，即

Α为一个可逆线性变换

浙 江 大 学

二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题

考试科目：数学分析

一、（共30％）

（A）（10％）用“ε δ语言”证明lim

(x 2)(x 1)

=0；

x→1x 3

（B）（10％）给出一个一元函数f，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之； （C）（10％）设f(x,y)为二元函数，在(x0,y0)附近有定义，试讨论“f(x,y)在(x0,y0)处可微”与“f(x,y)在(x0,y0)附近关于x、y的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。

二、 …… 此处隐藏：2875字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……