复数运算和几何性质

复数的加减乘除和几何性质

全 方 位 学 习 力 提 升 体 系

New Way Of Thinking

全 方 位 教 学 辅 导 教 案_学科：数学 教师： 学生姓名： 教学 目标 授课时间： 年 月 日 星期 科目当前课时： 年级：高二 总课时：

掌握复数的加法运算及意义；理解并掌握实数进行四则运算的规律 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

重点 难点

理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运 复数代数形式的除法运算；对复数除法法则的运用

教

学

教学过程 讲解新课： 讲解新课： 1.复数 z1 与 z2 的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数 z1 与 z2 的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明：设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解范例： 讲解范例： 例 1 计算：(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i)

内 例 2 计算：(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+2003i)+(2003-2004i) 解 法 一 ： 原 式 =(1 - 2+3 - 4+ … - 2002+2003)+( - 2+3 - 4+5+ … +2003 - 2004i)=(2003 - 1001)+(1001-2004)i=1002-1003i. 解法二：∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i, (3-4i)+(-4+5i)=-1+i, …… (2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i. 相加得(共有 1001 个式子): 原式=1001(-1+i)+(2003-2004i) =(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i新疆 王新敞奎屯

容

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当

堂

4.乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设 z1=a+bi , z2=c+di(a 、 b 、 c 、 d ∈ R) 是 任 意 两 个 复 数 ， 那 么 它 们 的 积 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i2 换成- 1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律： (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例 3 计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i)

双 例 4.计算(a+bi) (a-bi)

基

5 .共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不新疆 王新敞奎屯

*

等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数

2. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复 巩 数 c+di 的商，记为：(a+bi) ÷ (c+di)或者

a + bi c + di

3.除法运算规则： ①设复数 a+bi(a,b∈R),除以 c+di(c,d∈R),其商为 x+yi(x,y∈R), 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知 固

cx dy = a, dx + cy = b.

ac + bd x = c 2 + d 2 , 解这个方程组，得 y = bc ad .

c2 + d 2 于是有:(a+bi)÷(c+di)=

ac + bd bc ad + i. c2 + d 2 c2 + d 2

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②利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是将

a + bi 的分母有理化得： c + di

原式=

a + bi (a + bi )(c di ) [ac + bi ( di )] + (bc ad )i = = c + di (c + di )(c di ) c2 + d 2

=

(ac + bd ) + (bc ad )i ac + bd bc ad = 2 + i. c2 + d 2 c + d 2 c2 + d 2

∴(a+bi)÷(c+di)=

ac + bd bc ad + i. c2 + d 2 c2 + d 23+ 2

点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的 分母有理化思想方法， 而复数 c+di 与复数 c-di, 相当于我们初中学习的 的对偶式

3 2 ,它们之积为 1 是有理数，而(c+di)·(c-di)=c2+d2 是正实数.新疆 王新敞奎屯

所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 例 3 计算 (1 + 2i ) ÷ (3 4i ) 解：新疆 王新敞 奎屯

例4

计算

(1 4i )(1 + i ) + 2 + 4i 3 + 4i

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例 3 已知 z 是虚数，且 z+

1 z 1 是实数，求证： 是纯虚数. z z +1

证明：设 z=a+bi(a、b∈R 且 b≠0),于是 z+

1 1 =a+bi+ = z a + bi a bi a b =a+ 2 + (b 2 )i . 2 2 2 a +b a +b a + b2

a+bi+

∵z+

b 1 ∈R,∴b- 2 =0. z a + b2

∵b≠0,∴a2+b2=1. ∴

z 1 (a 1) + bi [(a 1) + bi ][(a + 1) bi ] = = z + 1 (a + 1) + bi (a + 1) 2 + b 2

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a 2 1 + b 2 + [(a + 1)b ( a 1)b]i 0 + 2bi b = = = i. 2 2 a + b + 2a + 1 1 + 2a + 1 a + 1∵b≠0,a、b∈R,∴

b i 是纯虚数 a +1

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1.复平面内的点 Z ( a, b) ← 平面向量 OZ →一一对应

uuu r

2.

复数 z = a + bi ← 平面向量 OZ →一一对应

uuu r

3.复数加法的几何意义： 设复数 z1=a+bi,z2=c+di,在复平面上所对应的向量 为 OZ 1 、 OZ 2 ,即 OZ 1 、 OZ 2 的坐标形式为 OZ 1 =(a, b), OZ 2 =(c,d) 以 OZ 1 、 OZ 2 为邻边作平行四边形新疆 王新敞 奎屯

OZ1ZZ2,则对角线 OZ 对应的向量是 OZ , ∴ OZ =

OZ1 + OZ 2 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i

4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设 z=(a-c)+(b-d)i, 所以 z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法几何意义，以 OZ 为一条对角线， OZ 1 为一 条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 OZ2 所表示的向量 OZ 2 就与 复数 z-z1 的差(a-c)+(b-d)i 对应 由于 OZ 2 = Z1Z ,所以，两个复数的差 z-z1新疆 王新敞 奎屯

uuuu r

uuur

与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 讲解范例： 讲解范例： 例 1 已知复数 z1=2+i,z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B,求 AB 对 应的复数 z,z 在平面内所对应的点在第几象限？

试比较它们模的大小； 例 2、已知复数 z1 = 3 + 4i, z2 = 1 + 5i, 试比较它们模的大小； 、

例 3、设 z ∈ C ,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？ 、 的集合是什么

图形？ (1) | z |= 2; ) (2) 2 <| z |< 3 )

课外思考： 课外思考： 复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个 顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

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课上次 作业 完成 情况 本次 作业

后

反

馈

表

学生学习状态及知识点掌握情况：

教师 课后 评估

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学生：

家长：

教务老师：

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