第一节 二重积分的概念和性质

第一节 二重积分的概念和性质

第一节

二重积分的概念和性质

一、 两个实例 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质

第一节 二重积分的概念和性质

一 两个实例

1 曲顶柱体的体积 （1）曲顶柱体的概念 底为xOy面上的有界闭区 域D，其侧面是以D的边界为

Z

z f ( x, y)

准线，而母线平行于z轴的柱

面，它的顶是曲面 z f ( x, y) ，

x

O

y

D

这里 f ( x, y) 0且在D上连续。

其体积如何计算？

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（2）体积的计算 Z ⅰ分割 将区域D任意分割 成n个小区域，它们的面积分别 记作 i ， 该曲顶柱体被分割成n O 个小曲顶柱体，体积分别记为 Δ Vi，（i=1，2，…）。如图。 x D ⅱ 近似 在 i 上任取一 点 ( i , i ), 当 i很小时，可以近 似地用一个平顶柱体的体积代替 相应小曲顶柱体的体积，如图。 从而有

z f ( x, y)

y

( i , i ),

Vi f ( i , i ) i , i 1,2, , n

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ⅲ 求和 将这n个小平顶柱体的体积加起来， 就得到曲顶柱体体积的近似值，即

V Vi f ( i , i ) i

i 1 i 1 n n

ⅳ 取极限 记d={n个小区间中直径的最大者}， 并令n→0，必有

V lim f ( i , i ) i

d 0 i 1 n

2 非均匀分布的平面薄片的质量 设质量非均匀分布的平面薄片占有xOy平面上 的有界闭区域，在点(x,y)处的面密度为 ( x, y) ， 它是D上的连续正值函数，求此薄片质量。

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我们仍可用第一个问题的处理方法进行计算。 ⅰ 分割 将区域D任意划分 为n个小区域，用 i 表示第 i 个小区域的面积，这样，平面 薄板被分割成n个小薄板。

x

i

D

( xi , yi )

ⅱ 近似 当 i 很小时， O y 可近似地将其看作质量均匀分 布，因而可用质量均匀分布的 值作其质量的近似值。于是在 i 上任取一点 ( xi , yi ) ， 可得质量 mi 的近似值：

mi ( xi , yi ) i

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ⅲ 求和 将所得的n个数值相加，就得到这 个平面薄板质量的近似值：

m mi ( xi , yi ) i

i 1 i 1 n n

ⅳ 取极限 记d={n个小区域中的直径最大 者}，并令d→0，取上述和的极限，即得此平面 薄片的质量： n

m lim ( xi , yi ) i

d 0 i 1

以上两问题的性质虽然不同，但我们发现处理 这两个问题时所用的方法是一样的。实际中还有很 多问题的处理方法也与它们相同，抛开它们的实际 意义，可以抽象出二重积分的概念。

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二 二重积分的定义

1 定义 设函数 z f ( x, y) 在有界闭区域D上连续， ⅰ. 将区域D任意划分为n个小区域：

1 , 2 , i , , n

其中 i 也同时表示第个小区域的面积。 ⅱ. 在 i 上任取一点 ( i , i ) 作积 f ( i , i ) i ⅲ. 求和 ⅳ. 求极限

f ( , )

i 1 i i

n d

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