第3讲效用最大化与支出最小化

微观经济学：现代观点

复习第2讲，消费者最优化

2.1预算

2.2偏好

2.3效用

2.4选择

消费者最优——买得到的组合中选择最好的一个。

2.1预算：买得到的组合——预算可行集——稀缺性 预算线的斜率——机会成本。

2.2偏好：如何对可能消费的组合排序呢——偏好 无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序

2.3效用：更简便的排序是用效用函数

效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边际替代率是无差异曲线的斜率——边际支付意愿或保留价格

2.4选择：通过排序我们可以找到最佳的消费组合 最优化模型的解满足相切条件，就是对商品1的边际支付意愿等于其机会成本。

但是并非满足相切条件的解是最优解。偏好是严格凸性的，也就是效用函数必须是严格拟凹的，此时满足一阶相切条件的解是最优解。

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最优选择模型 ch5 排序：偏好 无差异 曲线 ch3 边际替 代率 效用函数 Ch4 边际效用

买得到的组合： 稀缺 预算约束 Ch2 预算集 预算线

预算线斜 率：商品 1 机会成 本(边际 成本)

无差异曲线的斜 率：商品 1 的主 观价值(边际支 付意愿。保留价 格)

相切：选择 ch5

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第3讲：效用最大化与支出最小化（补充）

3.1效用最大化

3.2支出最小化

3.3效用最大化与支出最小化：对偶关系

3.1效用最大化

Max U＝U(x1, x2)

S.t. P1 x1 + P2 x2 = M

L=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)

L’x1= ðU/ðx1 –ζP1=0……………（1）

L’x2 = ðU/ðx2 –ζP2=0……………（2）

L’ζ=M – P1 x1 – P2 x2=0……………（3）

x1*=x1（p1，p2，M），x2*=x2（p1，p2，M）； 这是马歇尔需求函数

例子1：

U(x1, x2)= x11/2 x21/2

x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)

如果价格和收入同比例变化，需求量保持不变。即马歇尔需求函数是零次齐次函数

x1（tp1，tp2，tM）=t0x1（p1，p2，M）=x1（p1,p2,M）

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例子2：

把马歇尔需求函数x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2) 代入U(x1, x2)= x11/2 x21/2

得到最大的效用U*= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m

V= U*=V(p1, p2, m) =(1/2) p1-1/2 p2-1/2 m

我们把V=V(p1, p2, m)称为间接效用函数，把U＝U(x1, x2)称为直接效用函数。间接效用函数相当于说，只要知道收入和价格，就知道相应的最大效用。那么如果价格或收入发生变化，很容易得知导致效用的变化。

例子3：

U(x1, x2)= x11/2 x21/2——V= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m m=8，p1=1，p2=4，V=？，x1=？

m=8，p1+t=2，p2=4，V=？，x1=？税收tx1=？ m=8- tx1，p1 =1，p2=4，V=？x1=？

画图比较征收等额的商品税与所得税的影响p69

从量税：价格提高，（p1 +t）x1+p2 x2=m，政府税收t x1*

所得税：收入降低，p1x1+p2x2=m - t x1*， 政府税收t x1*

对于单个消费者来说，征收相同税额，所得税

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优于从量税。

但是如果单个消费者不消费征税商品，那么他偏好从量税而不是所得税。

例子4：

U(x1, x2)= x11/2 x21/2——V= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m -（ðV/ðp1）/（ðV/ðm）=?

补充：包络定理——值函数对参数的微分直接等于原函数对参数的微分。

V= U*=U[ x1*（p1，p2，M），x2*（p1，p2，M）] =V (p1, p2, m)……值函数；

Max L=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)……约束条件最大化的原函数；

ðV/ðp1= ðL/ðp1=-ζx1；

ðV/ðp1是说，如果价格变化1单位，效用会变化多少？如果在某一价格下，最优的商品购买量是x1，那么如果此时价格下降1单位，相当于每单位商品可以少花1单位，收入总共多出了x1单位；每单位货币的效用为ζ。于是，很直观的是，价格下降1单位，收入增加x1单位，效用增加了-ζx1单位。如果价格上涨则相反。

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ðV/ðp1= ðL/ðp2=-ζx2

ðV/ðm= ðL/ðm=ζ

-（ðV/ðp1）/（ðV/ðm）=x1*=(1/2) (m/p1)， -（ðV/ðp2）/（ðV/ðm）=x2*=(1/2) (m/p2)

我们把-（ðV/ðpi）/（ðV/ðm）=xi*（p1，p2，M）称为罗伊恒等式。利用该等式，知道间接效用函数，可直接得到马歇尔需求函数。

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3.2支出最小化

Min e= P1 x1 + P2 x2

S.t. U(x1, x2)＝U

L= P1 x1 + P2 x2–θ(U(x1, x2)-U)

L’x1 = P1–θðU/ðx1 =0……………（1）

L’x2 = P2–θðU/ðx2 =0……………（2）

L’θ = U(x1, x2)-U =0……………（3）

x1*=x1h（p1，p2，U），x2*=x2h（p1，p2，U）；叫希克斯需求函数，区别于马歇尔需求函数

满足MU1/ P1=MU2/ P2＝1/θ或MU1/ MU2 = P1 / P2

画图，区别效用最大化模型与支出最小化模型 把x1h（p1，p2，U），x2h（p1，p2，U）代入最小支出： e*= P1 x1h（p1，p2，U）+ P2x2h（p1，p2，U） e*= e（p1，p2，U）被称为支出函数，它告诉在既定价格条件下为了实现某一效用所需要的最小支出。

例子5：

求U(x1, x2)= x11/2 x21/2的支出函数

根据支出最小化模型得到：

x1h= p1-1/2p21/2 U，x2h= p11/2p2-1/2U,

e= p1 p1-1/2p21/2 U + p2 p11/2p2-1/2U=2 p11/2p21/2U

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如果U=2, p1=1, p2=4, e=?

征税 U=2, p1+t=2, p2=4, e=?

必须至少补贴多少钱，消费者才不会反对征税？ 画图表示

例子6：

ð e（p1，p2，U）/ðp1=？

ð e（p1，p2，U）/ðU=？

根据包络定理

ð e（p1，p2，U）/ðp1= ð L/ðp1= x1*=x1h（p1，p2，U）， ð e（p1，p2，U）/ðp2= ð L/ðp2= x1*=x2h（p1，p2，U）， 这叫谢泼德引理。

ð e（p1，p2，U）/ðp1=x1h

ðe/ðp1是说，如果价格变化1单位，最小支出会变化多少？很直观的是，如果在某一价格下，达到某一效用支出最小的商品购买量是x1h，那么如果此时价格下降1单位，相当于每单位商品少花1单位货币，共节省x1h单位支出就可以达到原来的U。如果价格上涨则相反。

ð e（p1，p2，U）/ðU= ð L/ðU= θ=1/ζ

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3.3效用最大化与支出最小化：比较

例子：V=V(p1, p2, m)与e= e（p1，p2，U）互为反函数 V=V（p1, p2, m）= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m

e= e（p1，p2，U）=2 p11/2p21/2U

画图：

四个恒等式：

e= e（p1，p2，V（p1，p2，m））=m

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V（p1，p2，e（p1，p2，U））=U

xi（p1，p2，M）=xih（p1，p2，V（p1， p2， m）） xih（p1，p2，U）=xi（p1，p2，e（p1，p2，U））

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