复变函数习题答案,南昌大学,单元练习部分(3)

√解gradu|P={6xz y, x,3x2+2z}|(1, 1,0)={1, 1,3},|{1, 1,3}|==6.设u=f(x,y,z)具有二阶连续偏导数,则rot(gradu)=

j k i

解rot(gradu)=rot{ux,uy,uz}= =0. uxuyuz

=(x2+xy2) .7.矢量场Ai+(y2+x2y) j+e k必是 =解divA

2(x

.

不是无源场,不是调+xy2)+(y2+x2y)+(e)=2x+y2+2y+x2不恒等于零,A

ijk

= 是无旋场;由于所讨论的区域为整个平面为线单连域,从0,A和场.rotA= 2 x+xy2y2+x2ye

也是有势场.B,D.而A

{2

x+y2=9, 8.矢量场A= yi+xj+3k沿正向圆周曲线的环量为.z=0

{x=3cosθ

∫∫ ·dl= ydx+xdy=解该正向圆周曲线的参数方程为y=3sinθ,0≤θ<2π,CA dxdy=C

x D y

z=0

∫∫2dxdy=2·π32=18π.D

二计算题1.求u=ln(x+解gradu|A=(

1

{1,0,}

√

y+z)在A(1,0,1)点处从A指向B(3, 2,2)的方向导数.

y+z·

x+x+

12{2, 2,1}2+( 2)2+12

1

,

yy+zy+z,

x+

z

y+zy+z1 )(1,0,1)={1,0,},AB={2, 2,1},所求方向导数=

=

1

2.设 γ=x i+y j+z k,γ=| γ|, a, b为常矢量,f(r)为可微函数,试求:(1)div[f(r) r](2)grad( r, a)(3)rot[f(r) b+( a· r) a](4)div[f(r) r× a]解(1)div[f(r) r]=

[f(r)x]

+

[f(r)y]

+

[f(r)z]

=3f(r)+f′(r)r.

f′(r)

(b3y

(2)grad( r, a)=grad(xa1+ya2+za3)= a.

′(r)

(3)rot[f(r) b]=f(b3y b2z,b1z b3x,b2x b1y),rot[( a· r) a]= 0,rot[f(r) b+( a· r) a]=b2z,b1z b3x,b2x b1y).

(4)div[f(r) r× a]=div[f(r)(a3y a2z),f(r)(a1z a3x,f(r)(a2x a1y)]=f′(r)1(a3xy a2xz+a1yz a3xy+a2xz a1yz)=0.

=2xyz3 为有势场,并求出F 的所有原函数u(x,y,z)及势函3.设力场Fi+x2z3 j+3x2yz2 k,(1)试证F数v(x,y,z);(2) 求质点在力场内从A (1,4,1)移动到B(2,3,1)所作的功. jk i ∫x∫y∫z22

解(1)rotF= ≡0,故F为有势场.u=00dx+00dy+03xyzdz+C= 2xyz3x2y33x2yz2

x2yz3+C,v= x2yz3+C.

(2)w=u(2,√3,1) u(1,4,1)=12 4=8.4.函数u=

6x2+8y2

在点P(1,1,1)处沿曲面2x2+3y2+z2=6在该点内侧法向量的方向导数.

√8y6x

解Fx=4x,Fy=6y,Fz=2z,P点内侧法向量: (4,6,2).gradu|p=(,,6x+8y( 1))|p=

z6x+8yz6x+8y

√√868116

(,, ,所求方向导数:(,, ·(4,6,2)= .作业卷（八）

1.写出下列Laplace变换结果L[e 3tcos2t]=

s

L[tcos2t]=.L[(t 1)2e t]=.

∫1

s+3sin2sin2 3tcos2t]=解(1)L[cos2t]=s,由位移性质,L[e.(2)L[]=cos2tdt]=L[(3)L[cos2t]=0.

.

ds

,由象函数的微分性质,L[tcos2t]= =2

∫1

L[0cos2tdt]=

1d

L[t2e t] L[2te t]+L[e t]=( 1)2

s2.(4)L[(t d11s2+1

2( 1)+=1)2e t]=L[(t2 2t+1)e t]=

2.求下列函数的拉氏变换

{

∫tt30≤t<2

(1)f(t)=(2)f(t)=0sin(3)f(t)=sin2kt(4)f(t)=1+δ(t)+u(t 1dt)

2t≥2∫+∞∫2∫+∞

1 2s

.解(1)L[f(t)]=0f(t)e stdt=03e stdt+22e stdt=3 e∫1sint1∞11∞(2)L[f(t)]=1L[]=sds=arctans|s=arccots.

s

11 .+1+e展开t3est

3.求拉式逆变换(1)L 1[1]=Res(,0)=.

11t(2)L 1[]=L 1[++]=e t 1.2s 122ttt(3)L 1[s+2]=L 1[++]= 1+2e+2te=2(1+t)e 1.∫t 3t

et2t

4.求下列函数的拉氏变换(1)f(t)=(2)f(t)=t0ecos2tdt

∫t2t∞111e1s 2

解(1)L[et e2t]= ,故L[]=s( )ds=ln.∫t 3t

s+3ss+3 3t(2)L[cos2t]=,L[ecos2t]=,L[0ecos2tdt]=1,

s+3′=2s3+15s2+36s+39. ()2kt11

(3)L[f(t)]=L[1 cos]=1{L[1] L[cos2kt]}={

s

}=

2k2

.

(4)L[1+δ(t)+u(t 1)]=

L[t

∫t

e 3tcos2tdt]=

5.求下列象函数的拉氏逆变换

1

解(1)L[F(s)=[

(1)F(s)=

s2+2s+2

+2

(2)F(s)=lns(2)F′(s)=

∫∞

t

=L 1[ sF′(s)ds]=2sh2.∫+∞ 3t

6.已知L[cos2t]=s,试用Laplace变换计算广义积分tecos2tdt.0∫+∞ st∫∫+∞ st+∞dsd解0ecos2tdt=s, ecos2tdt=0te stcos2tdt= =0∫+∞ 3t

s25

tecos2tdt=|=.0s=3

,2

]=e t 2te 2t.L 1[F′(s)]= 2sh2t,L 1[F(s)]

s2,故

7.利用Laplace变换求微分方程y′′+2y′ 3y=e t满足条件y(0)=0,y′(0)=1的特解.解L[y′′+2y′ 3y]=L[e t],s2Y(s) sy(0) y′(0)+2sY(s) 2y(0) 3Y(s)=

s+2st1)e

1

,

s+2stL 1[Y(s)]=ΣRes[Y(s)est,sk]=lim(s+3)e+lim(s+

s+2

,y=+2st1)slim(s e+s→1

Y(s)=

=

3t

e

解法二(部分分式)Y(s)

s→ 3

1 t 3t. e 1e

s+2A

==s→ 1

+

C(S+3)(S+1).分别令s→ 3, 11,得A=

BC

+,s+2=A(s+1)(s 1)+B(s+3)(s 1)+13 ,B= 1,C=.逐项求逆变换,即得所求特解.