数学必修1-5综合测试题(2)

]上为增函数 即 2

所以 的最大值为2………………………… 16．（1）证明：在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，

连结C1D，

DC DD1，

四边形DCC1D1是正方形．

DC1⊥D1C．

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC⊥DD1 D，

AD⊥平面DCC1D1，D1C 平面DCC1D1，

AD⊥D1C．

AD，DC1 平面ADC1，且AD⊥DC1 D，

D1C⊥平面ADC1，

C又AC1 平面ADC1， D1C⊥A1．

（2）连结AD1，连结AE，设AD1 A1D M，

BD AE N，连结MN，

D

1

1

平面AD1E 平面A1BD MN，

要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，

A1A

B

C

又M是AD1的中点． N是AE的中点． 又易知△ABN≌△EDN， AB DE． 即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．

17.(文) （Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间

(A1,B1,C2)，(A1,B2,C1)，(A1,B2,C2)，(A1,B3,C1)，(A1,B3,C2)， (A1,B1,C1)，

(A2,B1,C1)，(A2,B1,C2)，(A2,B2,C1)，(A2,B2,C2)，(A2,B3,C1)，(A2,B3,C2)， (A3,B1,C1)，(A3,B1,C2)，(A3,B2,C1)，(A3,B2,C2)，(A3,B3,C1)，(A3,B3,C2) ．

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的

发生是等可能的．

用M表示“A1恰被选中”这一事件，则

(A1,B1,C2)，(A1,B2,C1),(A1,B2,C2)，(A1,B3,C1)，(A1,B3,C2) ， M (A1,B1,C1)，

事件M由6个基本事件组成，因而P(M)

61

． 183

（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，

则其对立事件N表示“B1，C1全被选中”这一事件，

(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件N有3个基本事件组成， 由于N {(A1，B1，C1)，

所以P(N)

3115 ，由对立事件的概率公式得P(N) 1 P(N) 1 18666

17（理）（1）第一次由甲投且第二次由投的概率为

111

. ，故前两次由甲投的概率为1

222

（2）依题意可知P( 0)

11111115

1 ，P( 1) 1 1 ， 224232212

12113

P( 2) 1 ，∴E .

23312

总结点评 本题主要考查概率及数学期望，做概率题要注意多读题，要注重可能事

件概率，互斥事件的概率加法公式，独立事件概率乘法公式，n次独立重复试验中发生k次的概率问题.

18. 1）∵an 1 an 1an

2

2 2an 0，∴(an 1 an)(an 1 2an) 0，

∵数列{an}的各项均为正数，∴an 1 an即an 1∵a3

0，∴an 1 2an 0，

2an(n∈N )，所以数列{an}是以2为公比的等比数列.

2是a2 , a4的等差中项，∴a2 a4 2a3 4，

∴2a1 8a1 8a1 4，∴a1=2，

2n.

∴数列{an}的通项公式an

（2）由（1）及bn

anlog1an，得bn n 2n，

2

∵Sn∴Sn

b1 b2 bn，

2 2 22 3 23 4 24 n 2n， ①

22 2 23 3 24 4 25 (n 1) 2n n 2n 1 ②

∴2Sn

①-②得，Sn

2 2 2 2 2 2 n 2

2345nn 1

2(1 2n)

n 2n 1

1 2

(1 n) 2n 1 2.

要使Sn∴使Sn

n 2n 1 50成立，只需2n 1 2 50成立，即2n 1 52 , n 5 . n 2n 1 50成立的正整数n的最小值为5.

解题探究 本小题第一问求数列的通项公式，需选判断数列的构成规律，第二问求

n的最小值，需求出Sn，由bn的表达式可知，用错位相减法求和，然后解不等式即可.

选做题答案

1. C【分析】 由程序知，S 2 1 2 2 2 50 2

1 50

50 2550. 2

2. :C【解析】2a b=(3,n)，由2a b与b垂直可得：

(3,n) ( 1,n) 3 n2 0 n a 2．

3. ．

n n 1 2

1_。 4. V

4

． 3

【试题解析】∵正六边形周长为3，得边长为

1

，故其主对角线为1，从而球的直径2

2R

2 ∴R 1 ∴球的体积V

4 3

5. 解：设数列 an 的公差为d，则

a3 a4 d 10 d， a6 a4 2d 10 2d， a10 a4 6d 10 6d．

由a3，a6，a10成等比数列得a3a10 a6， 即(10 d)(10 6d) (10 2d)， 整理得10d 10d 0， 解得d 0或d 1．

当d 0时，S20 20a4 200． ······························································································· 当d 1时，a1 a4 3d 10 3 1 7， 于是S20 20a1 6.

2

2

2

20 19

d 20 7 190 330． 2

1 cos2 x

sin2 x 1

2

sin2 x cos2 x 2

（Ⅰ）解：f(x) 2

sin2 xcos cos2 xsin 2

44

2 x 2．

4

由题设，函数f(x)的最小正周期是

2 ，可得 ，所以 2．

22 2

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f(x)

4x 2．

4

当4x

k

2k ，即x (k Z)时，sin 4x 取得最大值1，所以函数

4 42162

k

f

(x)的最大值是2x的集合为 xx ，k Z ．

162