东平县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(3)

∴f （a k+1）＞f （a k ），即得a k+2＞a k+1＞0，

由数学归纳法原理知，a n+1＞a n 对于一切正整数n 都成立，

东平县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

第 15 页，共 15 页 ∴数列{a n }为递增数列．

（2）由（1）知：当且仅当0＜a 1＜a 2，数列{a n }为递增数列，

∴f （a 1）＞a 1

，即

（a 1为正整数），

设

（x ≥1

），则， ∴函数g （x

）在区间

上递增，

由于

，g （6）=ln6＞0，又a 1为正整数， ∴首项a 1的最小值为6．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题．

选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】

24．【答案】

【解析】解：（1）由已知得：f ′（x ）

=．

要使函数f （x ）在区间[1，+∞

）内单调递增，只需

≥0在[1，+∞）上恒成立． 结合a ＞0可知，只需

a

，x ∈[1，+∞）即可．

易知，此时=1，所以只需a ≥1即可．

（2）结合（1），令f ′（x ）

=

=0

得． 当a ≥1时，由（1）知，函数f （x ）在[1，e]上递增，所以f （x ）min =f （1）=0；

当

时，，此时在[1

，）上f ′（x ）＜0

，在

上f ′（x ）＞0， 所以此时f （x

）在

上递减，在上递增，所以f （x ）min =f

（）=1﹣lna

﹣；

当

时，，故此时f ′（x ）＜0在[1，e]上恒成立，所以f （x ）在[1，e]上递减，

所以f （x ）min =f （e ）

=

． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．