数列求和常见的7种方法(2)

∴ 数列{bn}的前n项和 Sn 8[(1

＝8(1

1cos0cos1

1cos0cos1

) (

13

) (8n

13

14

) (

1n

1n 1

)] （裂项求和）

1n 1

) ＝

n 1

1

cos88cos89

1

cos88cos89

[例11] 求证：

解：设S

1cos1cos2

1cos1cos2

cos1

2

sin1

∵

sin1

cosncos(n 1)

1

tan(n 1) tann （裂项）

1

∴S

cos0cos1cos1cos2cos88cos89

1

{(tan1 tan0) (tan2 tan1) (tan3 tan2) [tan89 tan88]} ＝

sin1

1

（裂项求和）

＝

1sin1

(tan89 tan0)＝

1sin1

cot1＝

cos1

2

sin1

∴ 原等式成立

答案：

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

高三总复习和高一新课时均可使用

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ cosn cos(180 n ) （找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）

＝ 0

[例13] 数列{an}：a1 1,a2 3,a3 2,an 2 an 1 an，求S2002.

解：设S2002＝a1 a2 a3 a2002

由a1 1,a2 3,a3 2,an 2 an 1 an可得

a4 1,a5 3,a6 2,

a7 1,a8 3,a9 2,a10 1,a11 3,a12 2,

……

a6k 1 1,a6k 2 3,a6k 3 2,a6k 4 1,a6k 5 3,a6k 6 2

∵ a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5 a6k 6 0 （找特殊性质项）∴ S2002＝a1 a2 a3 a2002 （合并求和） ＝(a1 a2 a3 a6) (a7 a8 a12) (a6k 1 a6k 2 a6k 6)

(a1993 a1994 a1998) a1999 a2000 a2001 a2002

＝a1999 a2000 a2001 a2002 ＝a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 9,求log3a1 log3a2 log3a10的值.

解：设Sn log3a1 log3a2 log

3

a10

由等比数列的性质 m n p q aman apaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质 log

aM log

aN log

a

M N 得 Sn (log

3a1 log

3

a10) (log

3

a2 log

3a9) (log

3

a5 log

3

a6) （合并求和）

＝(log

3

a1 a10) (log3

a2 a9) (log3

a5 a6)

高三总复习和高一新课时均可使用

＝log39 log39 log39 ＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求1 11 111 111 1之和.

n个1

1 解：由于111

k个1

19

999 9

k个1

19

(10

k

1) （找通项及特征）

1 ∴ 1 11 111 111

n个1

＝

19

(10 1)

1

19

(10

2

1)

19

n

(10

3

1)

19

(10

n

1) （分组求和）

＝

19

(10 10 10 10)

123

19

(1 1 1 1)

n个1

110(10 1)n

＝ 910 19

n

＝

181

(10

n 1

10 9n)

[例16] 已知数列{an}：an

8(n 1)(n 3)

,求 (n 1)(an an 1)的值.

n 1

解：∵ (n 1)(an an 1) 8(n 1)[

1(n 1)(n 3)1

1(n 2)(n 4)1

] （找通项及特征）

＝8 [

(n 2)(n 4)

1n 2

1

(n 3)(n 4)

) 8(

] （设制分组）

1n 4

＝4 (

1n 3

n 4

) （裂项）

∴

n 1

(n 1)(an an 1) 4 (

n 1

1n 2

13

1n 414

) 8 (

n 1

1n 3

1n 4

) （分组、裂项求和）

＝4 ( ) 8

14

高三总复习和高一新课时均可使用

＝133

提高练习：

1．已知数列 an 中，Sn是其前n项和，并且Sn 1 4an 2(n 1,2, ),a1 1，

⑴设数列bn an 1 2an(n 1,2, )，求证：数列 bn 是等比数列； ⑵设数列cn

an2

n

,(n 1,2, )，求证：数列 cn 是等差数列；

2．设二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用an表示an 1；

3．数列 an 中，a1 8,a4 2且满足an 2 2an 1 an n N*

⑴求数列 an 的通项公式；

⑵设Sn |a1| |a2| |an|，求Sn；