数列求和常见的7种方法

高三总复习和高一新课时均可使用

数列求和的基本方法和技巧

一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和

分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和

二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，

三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn

n(a1 an)

2

na1

n(n 1)2

d

2、等比数列求和公式：Sn

na1 n

a anq a1(1 q)

1

1 q1 q

(q 1)(q 1)

n

3、 Sn

k 1n

k

12

n

(n 1) 4、Sn

k 1

k

2

16

(n 1)(2n 1)

5、 Sn

132

k [n(n 1)] 2k 1

1log23 1log

2

[例1] 已知log3x

，求x x x x 的前n项和.

23n

解：由log

3

x

3

log

3

x log

3

2 x

12

高三总复习和高一新课时均可使用

由等比数列求和公式得 Sn x x2 x3 xn （利用常用公式）

1

n

＝

x(1 x)1 x

＝2

(1 1

112

n

)

＝1－

12

n

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N,求f(n)

*

Sn

(n 32)Sn 112

的最大值.

12

解：由等差数列求和公式得 Sn ∴ f(n)

Sn

(n 32)Sn 1

n(n 1)， Sn

(n 1)(n 2) （利用常用公式）

＝

nn 34n 64

2

＝

1n 34

64n

＝(n

18n) 50

2

150

∴ 当

n

88

，即n＝8时，f(n)max

150

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

23n 1

[例3] 求和：Sn 1 3x 5x 7x (2n 1)x………………………①

解：由题可知，{(2n 1)x

n 1

}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x

n 1

}的通项之积

234n

设xSn 1x 3x 5x 7x (2n 1)x………………………. ② （设制错位）

234n 1n

(2n 1)x （错位相减） ①－②得 (1 x)Sn 1 2x 2x 2x 2x 2x

再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x

(2n 1)x

n 1

n

1 x

n 1

1 x

(2n 1)x

n

∴ Sn [例4] 求数列,

2

4

2

(2n 1)x (1 x)(1 x)

2

22

,

62

3

, ,2n2

n

2n2

n

, 前n项的和.

12

n

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

高三总复习和高一新课时均可使用

设Sn

12Sn

2222

2

42

2

62

3

2n2

n

…………………………………①

………………………………② （设制错位）

22

4

4212

3

62

4

22 221

2

2n2

n 1

①－②得(1

)Sn

222n

3

22

n

2n2

n 1

（错位相减）

2 ∴ Sn 4

n 1 n 1

22n 22

n 1

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1 an).

12nn

5Cn (2n 1)Cn (n 1)2 [例5] 求证：Cn0 3Cn

12n

5Cn (2n 1)Cn………………………….. ① 证明： 设Sn Cn0 3Cn

把①式右边倒转过来得

Sn (2n 1)Cn (2n 1)Cn

mn m

又由Cn Cn可得

n

n 1

3Cn Cn （反序）

10

01n 1n

Sn (2n 1)Cn (2n 1)Cn 3Cn Cn…………..…….. ②

01n 1nn

①+②得 2Sn (2n 2)(Cn Cn Cn Cn) 2(n 1) 2 （反序相加）

n

∴ Sn (n 1) 2

[例6] 求sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 的值

解：设S sin1 sin2 sin3 sin88 sin89…………. ①

将①式右边反序得

S sin89 sin88 sin3 sin2 sin1…………..② （反序） 又因为 sinx cos(90 x),sin

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x cosx 1

2

①+②得 （反序相加）

2S (sin1 cos1) (sin

2

2

2

2 cos2) (sin

2 2

89 cos89)＝89

2

∴ S＝44.5

题1 已知函数

高三总复习和高一新课时均可使用

（1）证明：；

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以

.

练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：1 1,

解：设Sn (1 1) (

1a1a

2

1a

4,

1

2

4) (

a1

2

7, ,

1a

n 1

3n 2，… 1

3n 2)

a

7) (

a

n 1

将其每一项拆开再重新组合得

Sn (1

1a

1

n 1

当a＝1时，Sn n

1

a

(3n 1)n

2

) (1 4 7 3n 2) （分组）

＝

(3n 1)n

2

（分组求和）

1

n

a (3n 1)n＝a a1a 12

1 n

当a 1时，Sn

1

(3n 1)n

2

a

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

32

解：设ak k(k 1)(2k 1) 2k 3k k

高三总复习和高一新课时均可使用

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