2018届高考数学大一轮复习第七章立体几何第六节空间向量及其运算(2)

FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12

AB 1→

， ∵FG →与AB 1→

无公共点，

∴FG ∥AB 1，∴FG ∥平面AB 1C ，

又∵FG ∩EG ＝G ，

∴平面EFG ∥平面AB 1C 。

【答案】 (1)AG →＝12

AB →＋AD →＋AA 1→

(2)见解析

【典例

ADC 沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求BD 的长。

【解析】 ∵AB 与CD 成60°角，

∴〈BA →，CD →

〉＝60°或120°。

又∵AB ＝AC ＝CD ＝1，AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，

∴|BD →

|＝ BD →2 ＝BA →＋AC →＋CD → 2 ＝

BA →

2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD → ＝

1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈BA →，CD →〉 ＝ 3＋2cos 〈BA →，CD →〉 ，

∴|BD →

|＝2或2。

- 12 - ∴BD 的长为2或2。

【答案】 2或 2

反思归纳 1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置。

2．利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角。

3．可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解。

【变式训练】 已知空间四边形OABC 各边及对角线长AC ，OB 都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值。

【解析】 如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，

且设各棱长及对角线长均为1，

故|a |＝|b |＝|c |＝1，

a ·

b ＝a ·

c ＝b ·c ＝12，且|OE →|＝|BF →|＝32

。 ∴OE →·BF →＝12

(OA →＋OB →)·(OF →－OB →

) ＝? ????12a ＋12b ·? ??

??12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12

， ∴cos 〈OE →，BF →〉＝OE →·BF →|OE →||BF →|＝－23

。 ∵异面直线所成角的范围为?

????0，π2，

- 13 - ∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23

。 【答案】 23

11111为CD 的中点。

(1)求证：B 1E ⊥AD 1；

(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由。

【解析】

以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→

的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。

设AB ＝a 。 (1)证明：A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ? ????a

2，1，0，B 1(a,0,1)，

- 14 - 故AD 1→

＝(0,1,1)，

B 1E →＝? ??

??－a 2，1，－1， 因为B 1E →·AD 1→

＝－a 2

×0＋1×1＋(－1)×1＝0， 所以B 1E ⊥AD 1。

(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，

使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →

＝(0，－1，z 0)，

再设平面B 1AE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，

AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝? ??

??a 2，1，0。 因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1→，n ⊥AE →

， 得?????

ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0， 取x ＝1，则y ＝－a 2，z ＝－a ，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝? ??

??1，－a 2，－a 。 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →

，

有a 2

－az 0＝0， 解得z 0＝12

。 又DP ?平面B 1AE ，所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12

。 【答案】 (1)见解析 (2)存在点P ，AP ＝12

反思归纳 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思维流程

1．根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。

2．假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。

【变式训练】 (2016·怀化模拟)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的

侧视图、俯视图，在直观图中，点M 是BD 的中点，AE ＝12

CD ，侧视图是直角梯形，俯视图是

- 15 - 等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(1)求证：EM ∥平面ABC ；

(2)求出该几何体的体积；

(3)试问在棱CD 上是否存在一点N ，使MN ⊥平面BDE ？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由。

【解析】 (1)证明：因为M 为DB 的中点，取BC 中点G ，连接MG ，AG ，

所以MG ∥DC ，且MG ＝12

DC 。 所以MG ∥AE 且MG ＝AE ，所以四边形AGME 为平行四边形，所以EM ∥AG 。又AG ?平面ABC ，ME ?平面ABC ，所以ME ∥平面ABC 。

(2)由题意知，EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，AE ∥DC ，AE ＝2，DC ＝4，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝2，因为EA ⊥平面ABC ，所以EA ⊥AB 。又AB ⊥AC ，EA ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面ACDE ，所

以四棱锥B －ACDE 的高h ＝AB ＝2，梯形ACDE 的面积S ＝6，所以V B －ACDE ＝13

·Sh ＝4，即所求几何体的体积为4。

(3)以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (－2,0,0)，

D (－2,0,4)，

E (0,0,2)，M (－1,1,2)，DB →＝(2,2，－4)，DE →＝(2,0，－2)，DC →

＝(0,0，－4)，DM →＝(1,1，－2)。假设在DC 上存在一点N 满足题意，设DN →＝λDC →

＝(0,0，－4λ)，λ∈[0,1]，

则NM →＝DM →－DN →＝(1,1，－2)－(0,0，－4λ)＝(1,1，－2＋4λ)，所以??? NM →·DB →＝0，NM →·DE →＝0，即

- 16 - ?????

2＋2＋8－16λ＝0，2＋4－8λ＝0，

解得λ＝34∈[0,1]。所以棱DC 上存在一点N ，

满足DN ＝34DC 时，NM ⊥平面BDE 。

【答案】 (1)见解析 (2)4

(3)存在一点N ，DN ＝34DC

1．在空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →

等于( )

A ．a ＋b －c

B ．c －a －b

C ．a －b －c

D ．b －a ＋c

解析 如图所示，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋(AD →－AB →

)＝－b ＋c －a ＝c －a －b 。故选B 。

- 17 -

答案 B

2．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在线

段MN 上，且使MG ＝2GN ，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →

正确的是(

)

A.OG →＝OA →＋23OB →＋23

OC →

B.OG →＝12OA →＋23OB →＋23

OC →

C.OG →＝16OA →＋13OB →＋13

OC →

D.OG →＝16OA →＋13OB →＋23

OC →

- 18 - 解析 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12

OA →

＋ 23(ON →－OM →)＝12OA →＋23? ?????OB →＋OC →2

－OA →2＝16OA →＋13OB →＋13OC →。 故选C 。

答案 C

3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →

＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．不确定

解析 如图所示，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD …… 此处隐藏：2431字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……