2018届高考数学大一轮复习第七章立体几何第六节空间向量及其运算

第六节空间向量及其运算

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

自|主|排|查

1．空间向量及其有关概念

(1)空间向量的有关概念

①空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。

②相等向量：方向相同且模相等的向量。

③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。

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④共面向量：平行于同一个平面的向量。

(2)空间向量中的有关定理

①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一一个λ∈R，使a ＝λb。

②共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b。

③空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c。

2．两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。

3．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

(1)两个重要向量

①直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个。

②平面的法向量

直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量。显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。

(2)空间位置关系的向量表示

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微点提醒 1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理。如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb (λ∈R )即可。若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外。

2．用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标。

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一 、走进教材

1．(选修2－1P 97A 组T 2改编)如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与C 1M →

相等的向量是( )

A ．－12a ＋12

b ＋

c B.12a ＋12

b ＋c

- 4 - C ．－12a －12

b －

c D ．－12a －12

b ＋

c 【解析】 C 1M →＝C 1C →

＋CM →

＝－AA 1→－12AC →

＝－AA 1→－12

(AB →＋AD →) ＝－12AB →－12AD →－AA 1→＝－12a －12

b －

c 。故选C 。 【答案】 C

2．(选修2－1P 111练习T 3改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________。

【解析】 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标

系，设DA ＝2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2,1,2)，所以AM →＝(－2,0,1)，ON →

＝(1,0,2)，AM →·ON →

＝－2＋0＋2＝0，所以AM ⊥ON 。

【答案】 垂直

二、双基查验

1．(2016·沈阳模拟)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18

OC →

，则A ，B ，C ，P 四点( ) A ．一定不共面

B ．一定共面

C ．不一定共面

D ．无法判断

【解析】 由34＋18＋18

＝1知，A ，B ，C ，P 四点共面。故选B 。

- 5 - 【答案】 B

2．(2017·赤峰模拟)已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【解析】 因为a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，

所以a ·b ＝－3＋2x －5＝2，

解得x ＝5。故选C 。

【答案】 C

3．(2016·重庆模拟)若A ?

????0，2，198，B ? ????1，－1，58，C ? ????－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的一个法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝( )

A ．2∶3∶(－4)

B ．1∶1∶1

C ．－12∶1∶1

D ．3∶2∶4

【解析】 AB →＝?

????1，－3，－74，BC →＝(－3,2,0)， 因为平面α的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )，

所以????? a ·AB →＝x －3y －74z ＝0，a ·BC →＝－3x ＋2y ＝0，

取y ＝3，则x ＝2，z ＝－4。

所以x ∶y ∶z ＝2∶3∶(－4)。故选A 。

【答案】 A

4．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________。

【解析】 ∵a ＝－12

n ，∴l ⊥α。 【答案】 l ⊥α

5．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →

＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)。对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →。其中正确的是________。

【解析】 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →

＝0，

- 6 - ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确。

又AB →与AD →

不平行，

∴AP →

是平面ABCD 的法向量，则③正确。 ∵BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →

＝(－1,2，－1)， ∴BD →与AP →

不平行，故④错误。

【答案】 ①②③

【典例1】 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1＝a ，AB ＝b ，AD →

＝c ，M ，

N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：

(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→

。

【解析】 (1)∵P 是C 1D 1的中点，

∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12

D 1C 1→

＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12

b 。 (2)∵N 是BC 的中点，

- 7 - ∴A 1N →＝A 1A →

＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12

BC →

＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12

c 。 (3)∵M 是AA 1的中点，

∴MP →＝MA →＋AP →＝12

A 1A →＋AP →

＝－12a ＋?

????a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c 。 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12

BC →＋AA 1→

＝12AD →＋AA 1→＝12

c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝? ????12a ＋12b ＋c ＋? ??

??a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32

c 。 【答案】 (1)a ＋c ＋12b (2)－a ＋b ＋12

c (3)32a ＋12b ＋32

c 反思归纳 确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可。若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧。一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径结果应是唯一的。

【变式训练】 在三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的 …… 此处隐藏：3035字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……