数学竞赛难点之无穷级数(3)

（2）求积分 1 1 1

0 x x

dx。 解：I 1

11

120

1 x 1 x

dx 1 x 1 dx 12

3

1

x 2 dx ... 1 1 n n1 1n 1

n 1

x n dx n 1

ln 1

n n 1

I N

lnn 1

1 N ln N 1 H 1

nn 1 N 1 1 n I limN IN limN

ln N 1 HN 1 1 1 c

（3）判定级数

1

n 13

1 1 ... 1

的敛散性2n

1

解：1 1

1

1 12 ... 1

n

lim

13

1 11

3lnn c o l2 ... n

3c o l

1nln3

, limn

n

3

c o l 1

3

c

n

ln3

ln3 1,

1

1

n 1

nln3

收敛， 收敛

n 1

3

1 12 ... 1n

例如可以这样求数列x1n

n 1n 1 1

2n

的极限值：

由1 12 1

n

lnn=C+o（1），

和1 12 1

n 11n 1 2n ln2n=C+o（1），

两式相减，得：xn-ln2 o（1）,xn ln2. 通常也可以使用定积分的定义法求limn

xn: lim111

n xn limn n lim(n n 1 2n) lim1n n(1 1) 1 n1

n

1

11 x

dx ln2 0例10. 设函数f(x)在( , )上有定义，在x 0的某个邻域内有一阶连续导数，且

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

f(x)11n

，证明 ( 1)f()收敛，而 f()发散。 lim a 0x 0

n 1n 1xnn

f(x)

证明：由lim a 0 f(0）=0和f (0) a 0

x 0

xf(x)f(x) f(0)(Qlim lim f (0))x 0x 0

xx

再由导数的连续性，存在x=0的某邻域I,使得f (x) 0.(x I) f(x) (x I)，

1

f() 0，且单调递减并以零为极限(n为自然数)。

n

1f() f(x)1 a 0 再由lim a 0 lim交错级数 ( 1)nf()收敛。x 0n 1n 1xn

n

1 11

正项级数 f()与 同敛散， 级数 f()发散。

n 1n 1n 1nnn

46２n 2

＋ 收敛，并求和 例11. 证明

3!5!（２n－１）! 2n 22n 1! 2

lim 0，级数收敛 证明：lim2nn n 2n2n 12n 1!

x2nx2n 11

x x ex e x , 设s x

2n 12n 1!n 12n 1!

s

e 2

e

即所求和为2 e

e 。

11 n an 1

,a f0例12. 设f x ，求证：级数。 n 2

1 x xn!n 0anan 2

1 n n

f 0 ， 证明：将f(x)按马克劳林展开得f x anx，其中an n!n 0

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

f x 11 x x2

, 1 1 x x2 f x 1 x x2

anxn

n 01 1 x x2

aan 0 a1x nxn 2

a0 a1 a0 x an 2 an 1 an xn 2

n 0

a0 a1 1,an 2 an 1 an 0 an 2 an 1 an 0

a

n 1 an a0 1, an 2 an 1 an an 1 1, an n,limn

an

a

n 1 an 2 a 1n 0a n 1

nan 2n 0anan 2n 0 an

a

n+2

=lim n 1+1 1 1

aa =20a1n+1an+2

故，级数 an 1a，且nan 2 an 1

=2

n 0n 0anan 2

例13. 判断级数

1 n

tan

n 1

的敛散性。

解：设un

tan

tan

n

tan

0，

uln

n

递减且

n

imun 0

，

1 tann 1

是收敛的交错级数。

u

1

n tan

1n

n

而级数 1

发散， un发散，所以原级数条件收敛。

n 1n

n 1

例14. 证明： 1

n 1

2

x2

n 1

cosnx 1 。

n 1n2

124,x , ，并求级数 n 1

n2证明：将x2在 , 上展开成余弦级数，则a2 2

0 0x2dx 3

2，

又

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

an

2

0n

2 x22x1

xcosnxdx sinnx 2cosnx 3sinnx

nnn 0

2

4 1

,bn 0,n 0,1,2,...2

n

所以，x2的傅里叶级数为x2 整理得

2

3

4

n 1

1

n

2

n

cosnx,x ,

n 1

n 1

1

n

2

n 1

1 x2

cosnx ,x , ，令x=0得

124n2n 1

2

2

12

。

例15.设函数f x 在x 1上有定义，在x 0的某邻域内有连续的二阶导数，x 0时

bn 1

f x 0，当x 0时f x 是x的高阶无穷小，且 n N有

bn

证明：级数

1 f n 1，

1 f n

n 1

'

x 0时f x 是x的高阶无穷小， f 0 0,f证明：

内将f x 展成泰勒公式，有f x f 0 f

'

0 0，在x 0的某邻域

1"1

f x2 f" x2, 介2212""

于0，x之间， f x 连续， f M,f x Mx

2

M 1 M 1

当n充分大时有f 2， 2收敛， f 收敛

n n 2nn 12nn 1

1 1 1 f ff b bn 1b2n 1 2 33 又 , , ,...,，

bnb1f1b2 1 1

f f n 2 1 f bn, b b1 f 1

累乘得n n

b1f1f1 n

0 x

b1 1 1

f 收敛， f 收敛， bn收敛

n n n 1n 1n 1f1

bn bn 1 1

, bn bn 1 收敛，

2n 1n 12

例16.

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

4.3练习题

x4n

1. 求幂级数 的和函数S(x)。

n 0(4n)!

n2 1n

2. 求幂级数 nx的和函数S(x)。

n 02n!

3. 设幂级数 a(x 1)的收敛域为( 4,2)，则幂级数 na(x 3)

n

n 0

n

n 0

n

n

的收敛区间为

_____________。

1x2nx2n

4. 求幂级数 的收敛区间，若令s x ，求 S(x)dx。

n 0(2n)!n 0(2n)!

5. 若

b b

nn 1

n

0 收敛， an an 1 收敛，证明： anbn绝对收敛。

n 1

n 1

6.求下列级数的收敛域：（1）

n 1

1 x 1

3n 12

n

n

n

；（2）

1 x

n 12n 11 x

1

n

n

7.求幂级数

n 3

n 1

1

n

2

n

xn的收敛域。