数学竞赛难点之无穷级数(2)

n (n 1)!

f (0)2f(n)(0)n

x0 0时即为麦克劳林公式：f(x) f(0) f (0)x x x

2!n!

f x 展开成x的幂级数的步骤：

1 求出f n x n 1,2,... ; 2 求f n 0 n 1,2,... ;

f (0)2f(n)(0)n

x x 并求出敛散半径R； 3 写出f(0) f (0)x 2!n!

f(n 1)( )n 1

limRn x limx 0 位于0与x之间 是f x 的 4 当x R,R 时，n n (n 1)!

f (0)2f(n)(0)n

迈克劳林级数收敛的充要条件。此时f(x) f(0) f (0)x x x

2!n!

间接展开法：通过一定的运算（主要是加减法，数乘运算，逐项积分和逐项求导运算）将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数（主要是一些简单函数的迈克劳林展开式）展开将原来函数展开为幂级数。间接法是将函数展开为幂级数的主要方法，具体方法是：①先求导，展开成幂级数后在积分；②先积分，展开成幂级数后在求导。当然，中间还要通过一些适当的运算。

一些常用函数展开成幂级数：

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

(1 x)m 1 mx

m(m 1)2m(m 1) (m n 1)n

x x 　( 1 x 1)2!n!

1

1 x

2n 2 2n 3 !!xn 1 x 1

2n!!n

1 2n 1 !!n 1 x

1 x 1 2n!!n 1

1

n 1

1

2n 1 !!xn 1 x 1

n 12n!!

1n

1 x x2 ... 1 xn ... 1 x 1 1 x11 1 x x2 .. xn ... 1 x 1 1 2x ... nxn 1 ... 1 x 1 2

1 x 1 x

x2xn 1x2x3xnx ln 1 x x ... ...，e 1 x ... ... x

2n 12!3!n!x3x5x2n 1n

sinx x ( 1) 　( x )

3!5!(2n 1)!

2nx2x4nx

cosx 1 ... 1 ... x

2!4!2n!

n 1

x2x3nx

ln 1 x x ... 1 ... 1 x 1

23n 1

eix e ixeix e ixix

cosx 　 sinx 欧拉公式：e cosx isinx　　

22

三角级数：

a0

f(t) A0 Ansin(n t n) (ancosnx bnsinnx)

2n 1n 1

其中，a0 aA0，an Ansin n，bn Ancos n， t x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积在[ , ]上的积分＝0。

傅立叶级数：

a0

f(x) (ancosnx bnsinnx)，周期 2 ，

2n 1其中an

1

f(x)cosnxdx　，b

n

1

(n 1,2,3 ) f(x)sinnxdx　

11 2111 2

1 2 2 , 35822426224111 2111 21　 2 2 2 ,1 2 2 2 234623412

2

正弦级数：an 0，bn f(x)sinnxdx　n 1,2,3 　f(x) bnsinnx是奇函数

余弦级数：bn 0，an

2

f(x)cosnxdx　n 0,1,2 　f(x)

a0

ancosnx是偶函数2

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

a0 n xn x

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：f(x) (ancos bnsin)，

2n 1ll

1n x1n x

周期为2l,其中an f(x)cosdx　，bn f(x)sindx　(n 0,1,2,3 )

l lll ll

当x是f(x)的连续点时，该级数收敛于f(x)；当x是f(x)的间断点时，该级数收敛于f(x)在该点的左右极限的平均值

ll

f x f x

。

2

4.2.例题选讲

1

的和。 2

n n 1n 1

tanx tany

, 解：由于tan x y

1 tanxtany

例1.试求无穷级数 arctan

当x y

2

时有x y arctan tan x y arctan

tanx tany

1 tanxtany

11

111

arctan2 arctan arctan arctan

n n 1nn 11 nn 1

1

arctan2

n n 14n 1例2. 设 Un 是单调递增且有界的正数数列，证明：级数证明：由于 Un 单调递增，则0 1

n

Un

Un 1

Un 1 收敛。 Un 1 n 1

U UnUn 1 Un n 1 ,

Un 1U1

Ui 1 UiUn 1 U1

，由 Un 单调递增且有界得limUn存在 n U1U1i 1

Un 1 UnUn

级数 收敛， 级数 1 收敛

U1Un 1 n 1n 1

1

的和。 22nn 1

nn 1

1nn 1 解：2 tan arctan arctan 2n1 n 1n n 1n

例3.求级数

arctan

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

1nn 1 arctan arctan2n2n 1n

1n

arctan2 limarctan

2nn n 14n 1

arctan

ann!

例4. 讨论级数 n a 0 的敛散性。

n 1nan 1 n 1 !

解：lim

n

n 1

n 1

ann!nn

1 1

alim 1 alim 1 n n

n 1 n 1

n

n

n 1

n 1

a e

当a>e时，级数发散；当0<a<e时，级数收敛。

1214161x x x …+x2n …的收敛域并求其和． 例5. 求级数1 23 45 62n(2n 1)

112n"2n 2

x，则s x x ,x 1,1 解：设s x 2

1 xn 12n(2n 1)n 1

dx11 x

s' x ln,2

1 x21 x

当

11 x11 xx11 x12

s x ln xln dx xln ln1 x 21 x21 x1 x221 x2

111 1

x 1时，s x

2nn n 12n(2n 1)n 1 2n 1

111 ...1 1 1 1dx11 1 lim ... lim ln2 收 0n n 1n 2n n n n1 x

敛域为 1,1 ，和函数

1 x1 1xln ln 1 x2 ,x 1,1

s x 2 1 x2

ln2,x 1

f(x)

例6. 设函数f(x)在x 0的某邻域内具有二阶连导数，且lim 0，证明：级数

x

x

1 f 绝对收敛。 n 1

n

f(x)

证 因为函数f(x)在x 0的某邻域内具有二阶连续导数，且lim 0，则

x

x

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

f(x) f(0)

0。

x

f(x)f (x)f (x)f (0)

证 方法1 由洛必达法则，lim2 lim， lim x 0x 0x 0

x2x22

1 f

f (0) 1 n

f 所以，lim，由比较判别法知，级数绝对收敛。 x 0n 12 n

n2

f(0) limf(x) 0，且f (0) limx x

方法2 因为函数f(x)在x 0的某邻域内具有二阶连续导数，则f (x)在该邻域内的某闭子区间[ a,a]上有界，即存在常数M 0，使得f (x) M。由泰勒公式

f ( x)2f ( x)2

x x，0 1 2!2

Mx2

知，在区间[ a,a]上，f(x) ，从而存在正整数N，当n N时，恒有

2

1 1 M1

f 。由此较判别法知，级数 f 绝对收敛。 2

n 1

n n 2n

an

例7. 设an 0xsinxx,n 1,2, ，试求 n的值。 n

n 12

解：令x n t，则

0n n

an n (n t)sintdt n 0sinxdx 0xsinxdx，

n n n2 2

所以an sinxdx sinxdx n ,n 1,2, 。 00

22 12nn

记S(x) nx, …… 此处隐藏：2742字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……