数学竞赛难点之无穷级数

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

第四章 无穷级数

4.1.基本概念与内容提要

级数 an与 can收敛性相同。若级数 an与 bn都收敛，则级数 (an bn)也收敛，

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

且 (an bn) an bn。若级数 an与 bn都发散，则级数 (an bn)不一定发散。

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

若级数 an收敛， bn发散，则级数 (an bn)必发散。

n 1

n 1

n 1

由级数 (an bn)收敛不能得到级数 an与 bn收敛。

n 1

n 1

n 1

等比级数 qn 1,当q 1时收敛且 qn 1

n 1

n 1

1

;当q 1时发散。 1 q

11

P级数 p，当p>1时收敛，当0 p 1发散。其中调和级数 发散。

n 1nn 1n

1

级数 发散，其中k为正常数。级数 (an an 1)收敛 liman存在。

n

n 1n 1n k

如果级数 an收敛，则liman 0。如果liman 0，则级数 an必发散。

n 1

n

n

n 1

改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。收敛级数

加括号后仍收敛于原级数和。若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。

正项级数审敛法：

1.正项级数的收敛准则： an收敛 Sn M

n 1

2.正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散。

an

若lim l l 0 ,则 bn收敛 an收敛；an发散 bn发散。

n bn 1n 1n 1n 1n

anan

若lim 0,则 bn收敛 an收敛。若lim ,则 bn发散 an发散。n bn bn 1n 1n 1n 1nn

1

解题时常将级数 an与p级数 p an的敛散性。

n 1n 1nn 1

3.根值判别法：设： 0 1时，级数收敛；当 1时，

n级数发散；当 1时，不确定。注意： =0时级数也收敛。

a

4.比值判别法：设： limn 1，则当0 1时，级数收敛；当 1时，

n an

级数发散；当 1时，不确定。注意： =0时级数也收敛。5.积分判别法：f x 是在 1， 上单调递减的正项连续函数，

则正项级数 f n 与广义积分

n 1

1

f x dx具有相同的收敛性。

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

广义积分

1

f x dx的敛散性的判别方法与正项级数的相同。

n

6.定义法：sn u1 u2 un;limsn存在，则收敛；否则发散。

交错级数u1 u2 u3 u4 (或 u1 u2 u3 ,un 0)的审敛法——莱布尼兹定理：

un un 1如果交错级数满足 ，那么级数收敛且其和s u1,其余项rn的绝对值rn un 1。交

limu 0n n

错级数

1

n 1

n

an判断收敛一般用下述方法：

n

（1）

莱布尼兹定理：如果交错级数满足an an 1，liman 0那么级数收敛且其和s a1,其余项rn的绝对值rn an 1。如果 an 不满足条件，则一般可改用：

（2）取通项的绝对值所构成的级数，若收敛则原级数绝对收敛；若此绝对值所构成的

级数用比值法或根值法判定发散，则通项不趋于0，原级数发散。

（3）拆项或并项的方法，将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数均收敛，则原级数收敛；若一级数收敛另一发散，则原级数发散。若并项后的级数发散，则原级数也发散。

（4）如果能立即看出liman 0，则级数 an必发散。

n

n 1

绝对收敛与条件收敛：

若 an an收敛且称为绝对收敛；若 an an收敛则称为条件收敛。

n 1

n 1

n 1

n 1

由 an an也发散。但如果 ann 1

n 1

n 1

推断出的，则liman 0，从而liman 0，于是 an也发散。

n

n

n 1

1( 1)1

调和级数 发散，而 2收敛。

nnn

绝对收敛级数的和仍绝对收敛，绝对收敛级数与条件收敛级数的和是条件收敛。

任意项级数的判别法：①绝对值判别：若级数

n

a a收敛。即绝对收敛的级

n

n

n 1

n 1

数一定收敛。②拆项或并项的方法，将通项拆成两几项之和，利用交错级数和正项级数的判别方法。其一般判别步骤如下图所示：

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

x 1时，收敛于x 1时，发散

11 x

幂级数：

1 x x2 x3 xn 对于级数(3)a0 a1x　 a2x2 anxn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

x R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使

x R时发散，其中R称为收敛半径。x R时不定

1

0时，R

求收敛半径的方法：设lim

n

an 1

，其中an，an 1是(3)的系数，则an

0时，R 幂 时，R 0

级数在收敛域上的性质：

若幂级数

ax

nn 1 n 1

n

的收敛半径为R1，

n

bx

nn 1

n

的收敛半径为R2，则

(a

n 1

n

bn)x anx bnxn，收敛半径R min R1,R2 。

n

n

1

针对无穷级数的各种难题,题型有详细的概括。。

1 例：幂级数 n xn的收敛域为_______________

2 n 2

2n1n1

1,limn 1 ， 解：由于

lim的收敛半径为1, nxn的收敛

n

2n 2n 2n 22

1 n1 半径为2

， n x的收敛半径为1，当x

1时，级数 n xn绝对收敛，

2 2 n 2n 2所以，收敛域为 1,1 。

当两个幂级数的收敛域不同时，它们的和的收敛域是两个收敛域的交集，这种方法可以简化求幂级数的收敛域。

幂级数在收敛域 R,R 上绝对收敛，且和函数S(x)为连续函数。若 anxn在-R或R处

n 1

收敛，则S(x)在-R或R处分别右连续、左连续。和函数S(x)为可导函数且

S x an nxn 1，逐项求导后收敛半径不变。和函数S(x)为可积函数且

、

n 1

S t dt

n 1

x

x

antndt，逐项积分后收敛半径不变。逐项求导、逐项积分后，收敛半径

不变但收敛域可能改变，在端点处的敛散性可能改变。 若幂级数

ax

nn 1

n

n

在x x0处发散，则当x x发散。如果在某点0时级数 anx

n 1

x x0处幂级数条件收敛，则x x0必位于该幂级数的收敛域的端点。

ann 1

x在x=3处（ C ） n 1n 1n 1

A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.收敛性与 an 相关

例：设幂级数 an x-1 在x=3处条件收敛，则幂级数

n

解：原幂级数在x=3处条件收敛说明收敛半径为3-1=2。幂级数经逐项积分、平移后，收敛半径不变，所以后一幂级数的收敛域为（-2，2]。X=3在收 …… 此处隐藏：2206字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……