基于数学视角的高中物理极值问题例解_高志华.kdh

吉林教育

基于数学视角的高中物理极值问题例解

江苏省华罗庚中学物理组

高志华

摘要：一直以来，极值问题由于其涉及知识面广、知识综合性强的特点，是高中物理教学的重难点，因为该知识点侧重对学生综合分析能力和数理结合能力的考察，而大多数高中学生自身数理结合能力不足，所以在关于该知识点的求解过程中，学生如何能更好的实现简洁、快捷、正确的解答，已经成为众多高中物理教学工作者眼前的难题。本文中笔者结合自身多年教学实践经验，重点从数学视角探讨高中物理极值问题的解法，以期更好的为高中学生物理成绩的和数理结合能力的提升纳言献策。

关键词：数学视角；高中物理；极值问题；求解方法所谓极值问题的求解，指的是在高中物理中，在关于

某一物理量的变化过程中，不管它处于何种状态或者何种过程，其发展都可能会受到不变的物理规律和物理条件的制约，为了更好的达到符合物理问题的实际，其取值只能确定在一定的数值范围内，而关于该物理量数值取值范围的确定，就可能涉及到物理量的极值，确定这些极值的过程就是求解过程。

任何数值的求解都会涉及到数学知识，关于高中物理极值问题的求解也不例外，所以笔者认为关于高中物理极值问题的求解应该同数学知识灵活的结合起来，运用数学

建模的思想，运用数学语言将物理量的运动、

物理的实际现象或者物理变化过程简单准确的描述出来，将物理问题转化为数学问题，通过数学中的二次函数、几何作图、圆的知识、平均值等知识来确定物理量的数值范围，从而更好让物理极值问题的求解变得简单、快捷。

一、一元二次方程判别式的知识点例解高中物理极值问题

例：在水平面上有两条金属导轨ＡＢ和ＣＤ，相距Ｌ，它们与电阻Ｒ和电源电动势Ｅ连接起来，金属棒ＭＮ在ＡＢ和

ＣＤ上垂直相置，同时在上边滑动，除Ｒ外，其余电阻一概不计，在磁力场的作用下，ＭＮ在通电后从静止状态开始向左侧运动，最后以匀速以ｖ速度运动。如图：

问：在摩擦力ｆ不变的情况下，Ｂ

为多大时，ｖ能达到最大值，且最大值为多少？

说明：该例题属于典型的物理极值问题求解，关于该题我们可以利用高中数学中一元二次方程判别式的知识点加以求解．

解法如下：

解：设Ｆ为磁场力，Ｉ为金属棒电流，Ｅ为感应电动势，当ｖ为最大速度时：

∵Ｅ１＝ＢＬｖ∴Ｉ＝Ｅ－Ｅ１Ｒ，Ｆ＝ＢＩＬ＝ＢＥ－ＢＬＶＲ

Ｌ

当ｖ为最大时，有ｆ即为Ｆ，

∴ＥＬＢ－Ｂ２Ｌ２ｖ＝Ｒｆ，就是：Ｌ２Ｂ２ｖ－ＥＬＢ＋Ｒｆ＝０二、二次函数极值公式例解高中物理极值问题例：Ａ、Ｂ、Ｃ是处在同一水平面上的三点，ＡＢ＝Ｌ，∠ＡＢＣ＝θ，现有质点甲以速度ｖ１从Ａ向Ｂ匀速运动，而质

点乙以速度ｖ２从Ｂ向Ｃ匀速运动，如图：

问在甲乙两质点在运动过程中最短距离为多少．

说明：质点的运动距离属于数值，

其范围的求解属于高中物理的极值问题范畴，我们可以通过数学视角来看待该题，利用二次函数的极值求解公式来进行解答。

解法入下：解：建立平面直角坐标系，以Ａ点为坐标原点，ＡＢ方向为ｘ轴，取甲乙两质点在Ａ或Ｂ位置时，ｔ为０（ｔ为时刻），甲乙两质点在运动过程中最短距离为Ｒ，则质点甲的

坐标为ｘ１＝ｖ１ｔ，

ｙ１＝０，质点乙的坐标为：ｘ２＝Ｌ－ｖ２ｃｏｓθ．ｔ，ｙ２＝ｖ２ｓｉｎθ．ｔ。

则有：

Ｒ２＝（ｘ２－ｘ１）２＋

（ｙ２－ｙ１）２

＝（Ｌ－ｖ２ｃｏｓθ．ｔ－ｖ１ｔ）２＋（ｖ２ｓｉｎθ．ｔ）２

＝（ｖ１２＋ｖ２２＋２ｖ１ｖ２ｃｏｓθ）ｔ２－２Ｌ（ｖ１＋ｖ２ｃｏｓθ）ｔ＋Ｌ２

当质点甲和质点乙之间最小时，Ｒ２最小，利用二次函数的极值公式：

∵当ｔ＝Ｌ（ｖ１＋ｖ２ｃｏｓθ）ｖ１２

＋ｖ２２＋２ｖ１ｖ２ｃｏｓθ

时，ｒｍｉｎ＝

Ｌｖ２ｓｉｎθ

ｖ１２＋ｖ２２＋２ｖ１ｖ２ｃｏｓθ

姨∴甲乙两质点之间的最小距离为

Ｌｖ２ｓｉｎθ

ｖ１２＋ｖ２２＋２ｖ１ｖ２ｃｏｓθ

姨三、利用数学图像例解高中物理极值问题对于高中物理中的很多问题，我们都可以利用图形图像加以解决，数学图像数学图像具有着数据数字无法比拟的直观性，通过分析物理过程中必须遵循到的物理规律，找出各个物理变量之间的函数关系，然后做出图像，该方法又简洁明了，在解决物理极值的过程中能够起到事半功倍的效果。

例：一辆做匀速运动的汽车，它开出一段时间后，突然制动做匀速减速运动，从开始到停下来一共用了２０秒，中途前进了５０米，求该汽车在这一过程的最大速度。

说明：对于该题，我们可以利用高中数学中的图像法进行解答。

解法如下：解：设ｖｍ１汽车加速阶段的最大速度，末速度为ｖｍ２，以此画出速度时间图像，如图：

Ｓ＝１２×ｔ×Ｖｍ即：５０＝１２×２０Ｖｍ∴Ｖｍ＝５ｍ／ｓ此外，还有利用不等式、利用三角函数的有界性、利用数学求导的方法、利用向量、利用几何圆等求极值的方法，限于篇幅，这里不再一一列举．以上求极值的方法是解高中物理题的常用数学方法．在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围．求最大和最小值问题，往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论，这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律，还要具备运用数学知识解决物理问题的能力．解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念、基本规律，在分析清楚物理过程后，再灵活运用所学的数学知识．

结束语。总之，在高中物理极值问题的求解过程中，首先要借助数学视角找出能够符合物理规律的数学方程，然后依据物理题意构建出相应的数学模型，然后结合数学公式和数学图形来解决，这一过程并不是要求我们盲目的将物理问题数学化，而且寻求更为便捷更为方便的一种解决方法的新思维。

参考文献：

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［２］郑雄．求解物理中的极值问题［Ｊ］．考试（高考英语版），２００１，（０２）．

［３］陈兴．高中物理极值问题求解的一般规律［Ｊ］．中国校外教育（理论），２００８，（０７）．

［４］徐怀松．

高

中物理极值求解方法初探［Ｊ］．考试周刊，２０１０，（４８）．

中学教学研究

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